Specimen
Zénith is a typeface intended for editorial design. Thanks to the possibilities offered by Variable Fonts format, Graphic designers can modulate both weight and optical size, transforming Zénith from a typeface designed for small sizes of body text into a particularly elegant and contrasted display typeface.
Here Matthieu Cortat delivers his personal interpretation of Zeno, a typeface cut by Charles Malin in 1936 for the German-Italian publisher Giovanni Mardersteig, that he discovered in the Sanctum Evangelium, printed in 1963 by the Officina Bodoni. He adds a Cyrillic character set absent from the original model.
The relatively sizable width an taut curves of Zénith give it a generous and jittery appearance that permeates the different styles. The axis is heavily slanted, giving the C a characteristic silhouette. With its wide serifs, it already has the makings of a “classic”. The heaviest weights appear intentionally stocky while never veering into caricature. The italics are calm and balanced and only slightly slanted, and they discreetly allow a particular word to stand out, or on the contrary, an entire paragraph to be read with ease.
The rhythm is stable, ample and regular in the Text styles, but its true character asserts itself in the Display styles. The contrast between wide and narrow letters grows as the thin strokes become even thinner and the x-height is reduced.
Zénith Text could be compared to a swimmer before a race: well built, flexible, warmed up but calm, breathing deeply and regularly. Zénith Display would be closer to a marathon runner, skin tightly stretched over lean and jittery muscles.
A typeface clearly designed for reading that also gradually reveals a stark personality as its optical size is increased.
16 Styles
Roman
Italic
2 Variables
Roman
Italic
La Terre Tout le monde sait ce qu’on entend par une ligne droite et une ligne courbe. Ce n’est pas ici le lieu de rechercher si une ligne droite est convenablement définie lorsque l’on dit qu’elle est la plus courte qu’on puisse mener entre deux points donnés, ou la ligne qui ne peut prendre qu’une position entre ces deux points. Une ligne droite telle que l’imagination la conçoit, n’a de dimensions que dans un seul sens, qu’on appelle alors la longueur. L’extrémité d’une ligne droite se nomme un point. Un espace possédant deux dimensions à la fois, longueur et largeur, prend le nom de surface. Une surface peut être plane ou courbe. Elle est plane lorsqu’une ligne droite peut complétement s’y appliquer dans toutes les directions. La surface est courbe quand il s’y trouve des directions suivant lesquelles la ligne droite ne s’y applique pas entièrement. Un plan est complétement déterminé lorsqu’on connaît trois des points par lesquels il doit passer, pourvu que ces points ne soient pas en ligne droite ; en d’autres termes, il est déterminé lorsqu’on connaît deux lignes droites qu’il doit contenir. Une ligne courbe peut être plane ou à double courbure. Une ligne courbe est plane lorsqu’on peut concevoir un plan qui contienne toutes ses parties. Elle est à double courbure quand, semblable à une hélice, toutes ses parties ne peuvent pas être couchées sur un plan. On appelle polygone une figure terminée par des lignes droites qui prennent le nom de côtés du polygone. Une ligne courbe peut être assimilée à un polygone, pourvu qu’on suppose que les côtés de ce polygone soient d’une petitesse extrême, ou pour parler le langage des géomètres, soient infiniment petits. Le plus simple des polygones est le triangle ; il est formé par trois lignes passant deux à deux par trois points. Or, trois points étant nécessaires et suffisants pour déterminer un plan, un triangle rectiligne est nécessairement un plan. Lorsque les trois côtés d’un triangle rectiligne sont inégaux, on dit du triangle qu’il est scalène. Lorsque deux côtés sont égaux, on appelle le triangle isocèle. Le triangle dont les trois côtés sont égaux se nomme un triangle équilatéral. Le polygone terminé par quatre côtés est un quadrilatère ; parmi les quadrilatères on distingue le parallélogramme, le rectangle, le carré, le losange. Un cercle est une surface plane, susceptible dès lors d’être appliquée tout entière sur un plan. Elle est terminée par une courbe dont tous les points sont à la même distance d’un point intérieur qu’on appelle centre. Cette courbe terminatrice est ce qu’on appelle la circonférence du cercle. Une portion de cette courbe s’appelle un arc. La ligne qui va du centre à un point quelconque de la circonférence d’un cercle s’appelle rayon. Cette ligne prolongée jusqu’au point opposé de la circonférence prend le nom de diamètre. Un diamètre est donc égal à deux rayons. L’on a souvent à considérer, surtout en astronomie, non-seulement des cercles entiers, mais des portions de cercle qui ont reçu des noms particuliers. Le contour entier du cercle étant partagé en 360 parties égales, chacune de ces parties s’appelle un degré La considération des degrés pouvait suffire dans l’enfance de la science, mais à mesure que les observations se perfectionnèrent, on sentit le besoin de tenir compte de divisions plus petites que des degrés. Ces divisions furent appelées des minutes. Chaque degré en renferme 60. Lorsque, à l’aide des lunettes, on vint à pouvoir discerner des quantités plus petites que des minutes, on partagea chacune de ces divisions en 60 parties qui furent appelées des secondes. Le nombre total des divisions en secondes contenues dans la circonférence d’un cercle est égal au nombre 21 600 multiplié par 60 ou 1 296 000. Quelques auteurs supposent que chaque seconde est divisée en 60 parties, ce qui donne des tierces ; des soixantièmes de tierces seraient des quartes, et ainsi de suite. Mais les astronomes qui ne veulent pas que les résultats publiés par eux soient entachés d’une précision imaginaire, qui craignent d’être taxés de charlatanisme, ne font aucun usage ni des tierces ni des quartes. Ils s’arrêtent aux secondes, et, quand il y a lieu, aux fractions décimales de ces quantités déjà si petites. Les grandes divisions du cercle ou les degrés sont désignés par un petit zéro placé à droite et un peu en dessus du chiffre qui indique de combien de degrés on entend parler : ainsi 25° veut dire 25 degrés. Les minutes sont indiquées par un petit trait placé de même, et les secondes par deux traits semblables et contigus. Ainsi : 47° 28'37" doit être lu 47 degrés 28 minutes 37 secondes. Les termes de minutes et de secondes par lesquels on désigne des 60es et 3 600es de degrés ont l’inconvénient de s’appliquer aussi dans le langage commun à la mesure de certaines portions du temps ; le premier désignant un 60e d’heure et le second un 60e de minute. Il est rare, cependant, qu’il puisse en résulter une confusion véritable ; les termes des problèmes qu’on se propose de résoudre indiquant toujours suffisamment s’il est question d’espace ou de durée. Au reste, pour éviter toute méprise, on ne manque pas, quand il y a lieu, de dire si l’on parle de minutes et de secondes de degré ou de minutes et de secondes de temps. Dans l’écriture, on a fait aussi une confusion regrettable, en se servant indistinctement des mêmes signes ', ", pour désigner les minutes et secondes de temps et les minutes et secondes de degré. Cette confusion n’existe plus dans les ouvrages modernes, où les minutes et secondes de temps sont indiquées par les petites lettres m et s. Peut-être eût-on bien fait à l’origine de désigner par des noms dissemblables des choses essentiellement différentes ; mais les langues se sont formées avant que la science eût atteint sa perfection. J’indiquerai ici l’habitude plus vicieuse encore, et cependant généralement adoptée, de désigner par la même expression degré, les parties aliquotes de la division du cercle, les 360es de la circonférence et les 80es ou les 100es de l’étendue parcourue par la liqueur thermométrique entre le terme de la glace fondante et la température de l’ébullition de l’eau ; toute confusion entre ces espèces si différentes de degrés ne sera plus à craindre de la part de ceux à qui la possibilité de l’erreur a été une fois signalée. Les anciens regardaient le cercle comme la plus noble des courbes. C’était donc, d’après eux, suivant des cercles que devaient s’opérer tous les mouvements célestes. Cette conception malheureuse jeta les Grecs dans des systèmes d’une extrême complication, qui s’écroulèrent avec fracas et sans retour dès que l’astronomie se fut enrichie d’un certain nombre d’observations précises. Le cercle n’en joue pas moins un rôle très-important au milieu des combinaisons artificielles que l’intelligence humaine a dû créer pour ne pas se perdre au milieu du dédale de mouvements de toutes sortes que les astres éprouvent. Tout diamètre partage le cercle et sa circonférence en deux parties égales. Si une des extrémités du diamètre passe par le zéro de la division d’un cercle gradué, l’autre extrémité aboutira à 360°2360^2 ou au 180e degré. Si l’extrémité d’un diamètre passe par la division qui termine le 90e degré, l’autre extrémité aboutira au 270e puisque les deux extrémités d’un diamètre doivent toujours être éloignées de 180°, et ainsi de suite. C’est un principe important et dont les applications sont très-fécondes, que celui qu’on démontre dans tous les traités de géométrie et qui peut être énoncé ainsi : les circonférences de cercles sont proportionnelles à leurs rayons. Il faut comprendre par cet énoncé, que si après avoir enroulé un fil autour d’une circonférence de cercle d’un rayon égal à 1, le fil aurait le double de longueur si on l’enroulait sur une circonférence, de rayon double ; que la longueur du fil développée serait triple si le rayon était triple, et ainsi de suite. La proportion est vraie, non seulement quand il s’agit de rapports simples comme ceux que nous venons de citer, mais encore à l’égard de circonférences de cercle dont les rayons seraient entre eux dans un rapport quelconque. Ainsi, à des cercles successifs dont les rayons seraient 1,1+110e,1+1100e,1+11,000e,1,1+110^e,1+1100^e,1+11,000^e, etc., correspondraient des circonférences dont la seconde aurait 110e110^e de plus que la première, la troisième 1100e1100^e, la quatrième 11,000e11,000^e etc., toujours de plus que cette première d’un rayon égal à 1. Il faut mettre soigneusement ces résultats en réserve, car nous en ferons bientôt d’utiles applications. Supposons que d’un même point C comme centre (fig. 1), on décrive des circonférences de cercle avec des rayons différents CA, CB, CD, CE, ces circonférences de cercle seront dites concentriques. Admettons qu’une de ces circonférences, la plus petite de toutes, soit divisée en 360 parties égales ou en 360 degrés ; menons du centre commun de ces cercles à chacune des 360 divisions du plus petit, des rayons ; ces rayons prolongés jusqu’à la seconde, à la troisième, à la quatrième circonférence, les partageront en parties égales entre elles dans chaque circonférence, ou en degrés. Puisque les circonférences entières sont proportionnelles aux rayons, les 360es parties de ces circonférences ou leurs degrés seront dans le même rapport. Cela veut dire que le développement rectiligne de l’arc d’un degré pris sur une circonférence d’un rayon double, est double du développement rectiligne d’un degré pris sur une circonférence de rayon simple. De même, le développement rectiligne de l’arc d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1 étant donné, le développement rectiligne d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1+1100e1+1100^e, sera de 1100e1100^e plus grand, et ainsi de suite, quel que soit le rapport des rayons. Nous avons supposé les cercles concentriques afin que ces propositions diverses parussent évidentes d’elles mêmes, mais il est clair que ces propositions auraient la même vérité, quels que fussent les lieux où les cercles, satisfaisant aux conditions précédentes, seraient tracés. Seulement quand les cercles sont concentriques, il suffit que l’un d’entre eux, le plus petit par exemple, ait été exactement divisé en degrés pour qu’on puisse, en prolongeant les divers rayons jusqu’aux autres circonférences, les partager également en degrés. La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite. La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite. Cette coïncidence presque parfaite d’un arc de cercle et d’une ligne droite s’étend jusqu’à l’arc de 1°. La ligne droite qui coïncide ainsi sur une petite étendue avec un arc de cercle est appelée une tangente. L’astronome a souvent à résoudre ce problème : Étant donnée la circonférence d’un cercle, trouver le diamètre ; Et réciproquement, étant donné le diamètre, trouver la circonférence. On y arrive en divisant, dans le premier cas, la circonférence par un certain nombre toujours constant, quel que soit le cercle, et, dans le second cas, en multipliant le diamètre par ce même nombre. On comprend toute l’utilité de la détermination d’un pareil nombre. Puisque nous regardons comme établi que les circonférences du cercle sont mathématiquement entre elles comme leurs rayons, de sorte qu’à un rayon double correspond une circonférence de cercle double, à un rayon triple correspond une circonférence exactement triple, à un rayon décuple, une circonférence décuple et ainsi de suite, il résulte de cette proposition que si l’on connaissait le rapport du rayon, ou ce qui revient au même, de la longueur du diamètre à celle de la circonférence développée en ligne droite pour un cercle d’une étendue donnée, ce même rapport pourrait être appliqué à tout autre cercle d’un diamètre plus grand ou plus petit. Les praticiens ont pu déterminer le rapport du diamètre à la circonférence, ou inversement de la circonférence au diamètre, avec toute l’exactitude que les besoins des arts exigeaient, en comparant simplement la longueur développée d’un fil inextensible qui avait été enroulé sur une circonférence de cercle, à la longueur du diamètre ; mais il n’est resté aucune trace écrite de ces opérations en quelque sorte mécaniques. Archimède, qui vivait de 287 à 212 avant Jésus-Christ, est le plus ancien auteur dans lequel on rencontre une détermination obtenue par voie intellectuelle du rapport du diamètre à la circonférence. L’immortel géomètre de Syracuse trouva que si le diamètre d’un cercle est divisé en sept parties égales, vingt et une de ces parties forment une longueur plus petite et vingt-deux une longueur plus grande que la circonférence développée. Pierre Métius, qui vivait au milieu du XVIe siècle, le père d’un artiste qui éleva des prétentions sur l’invention des lunettes, donna les deux nombres cent treize et trois cent cinquante-cinq comme exprimant très-approximativement le rapport de la longueur du diamètre à celle de la circonférence. Lorsqu’on transforme ce rapport en décimales, on trouve un nombre qui ne s’écarte du rapport, donné plus tard plus exactement, que sur le huitième chiffre. Le rapport de cent treize à trois cent cinquante-cinq (113355)113355a la propriété, comme on l’a démontré depuis, d’être le plus exact de tous ceux qui pourraient être exprimés par un aussi petit nombre de chiffres. On ne sait pas le nom du savant ou de l’artiste qui imagina de donner pour moteur aux petites pendules et aux montres portatives, un ressort plié en spirale et enfermé dans un tambour ou barillet (fig. 21). Cette belle invention paraît avoir été faite à la fin du XVe siècle ou au commencement du XVIe. Derham dit avoir vu une montre qui avait appartenu à Henri VIII d’Angleterre, né en 1491, mort en 1547. Dès l’origine, le ressort spiral, moteur des horloges portatives, était, comme aujourd’hui, attaché par son extrémité extérieure au tambour tournant, et par son autre extrémité à l’arbre immobile formant l’axe de ce même tambour. Les montres qui existent encore, du temps des rois de France Charles IX et Henri III, présentent toutes cette disposition. Le ressort moteur perd de sa force à mesure qu’il se détend. Une montre ainsi construite, malgré l’action du balancier dont nous parlerons plus loin, doit aller vite quand elle vient d’être remontée, et retarder ensuite graduellement. Pour remédier à ce défaut, on imagina la fusée (fig. 22), une des plus belles inventions de l’esprit humain. L’inventeur de la fusée n’est pas connu. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. A mesure que le ressort est moins tendu, il agit sur la fusée à l’extrémité d’un plus grand bras de levier, de manière qu’il y a compensation. Puisque la fusée est dentée à sa base, puisqu’elle engrène directement avec le rouage, puisqu’elle le conduit, si sa tendance à tourner reste constante, l’ensemble du rouage tourne uniformément. Le pendule, dans sa plus grande simplicité, consiste dans un corps pesant A (fig. 23), de petite dimension, suspendu par un fil très-délié, mobile lui-même autour d’un point S, et tel qu’on peut écarter le corps A de sa position verticale pour l’amener à droite ou à gauche en B ou en C et l’abandonner ensuite à lui-même. Le jeune étudiant étant un jour nel Duomo di Pisa, se prit à observer les mouvements d’une lampe suspendue à une corde. Les montres qui existent encore, du temps des rois de France Charles IX et Henri III, présentent toutes cette disposition. Le ressort moteur perd de sa force à mesure qu’il se détend. Une montre ainsi construite, malgré l’action du balancier dont nous parlerons plus loin, doit aller vite quand elle vient d’être remontée, et retarder ensuite graduellement. Pour remédier à ce défaut, on imagina la fusée (fig. 22), une des plus belles inventions de l’esprit humain. L’inventeur de la fusée n’est pas connu. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. À mesure que le ressort est moins tendu, il agit sur la fusée à l’extrémité d’un plus grand bras de levier, de manière qu’il y a compensation. Puisque la fusée est dentée à sa base, puisqu’elle engrène directement avec le rouage, puisqu’elle le conduit, si sa tendance à tourner reste constante, l’ensemble du rouage tourne uniformément. Le pendule, dans sa plus grande simplicité, consiste dans un corps pesant A (fig. 23), de petite dimension, suspendu par un fil très-délié, mobile lui-même autour d’un point S, et tel qu’on peut écarter le corps A de sa position verticale pour l’amener à droite ou à gauche en B ou en C et l’abandonner ensuite à lui-même. On ne sait pas par quels procédés Métius obtint le rapport qui porte son nom. Dans les calculs destinés à déterminer plus exactement le rapport de la circonférence au diamètre, on s’est servi d’un principe qui peut être énoncé ainsi : la circonférence d’un cercle est plus grande que le contour de tout polygone inscrit, et plus petite que le contour du polygone circonscrit. Les contours de ces deux genres de polygones ADCDEF et PQRSTV (fig. 2) peuvent être calculés en parties du rayon OC du cercle circonscrit au polygone intérieur, et en parties de ce même rayon, qui est, pour l’autre polygone, celui du cercle inscrit GHKLMN. Lorsque dans le calcul des développements rectilignes de deux polygones d’un même nombre de côtés en parties du rayon du même cercle, on trouve les mêmes résultats jusqu’à la dixième décimale, par exemple, on peut être assuré d’avoir exactement, jusqu’à cette même décimale, le rapport de la circonférence au diamètre du cercle, puisque ce rapport, répétons-le, doit être intermédiaire entre le rapport que fournit le développement du polygone circonscrit et celui du polygone inscrit, ou en prenant les lettres de la figure, le rapport de la circonférence GHKLMN au rayon OC est plus petit que le rapport du polygone PQRST à ce rayon OC, et plus grand que le rapport du polygone ABCDEF, toujours au même rayon OC. C’est en partant de ce principe que Viete, qui vivait vers la fin du XVIe siècle, exprima le rapport du diamètre à la circonférence avec la précision de onze décimales. Cette exactitude fut bientôt dépassée par le résultat des recherches d’Adrianus Romanus. Ce calculateur belge eut la patience de déterminer les contours de deux polygones, l’un inscrit et l’autre circonscrit à un cercle, et composés chacun de 1 073 741 824 côtés. Les longueurs de ces deux polygones, évaluées en parties du rayon du cercle, avaient seize décimales communes ; dès lors le rapport du diamètre à la circonférence pouvait être donné jusqu’à la précision d’une unité sur la seizième décimale. Ludolph Van Ceulen, de Cologne, étendit la précision en suivant la même méthode jusqu’à la trente-sixième décimale. Par des moyens de calcul plus abrégés, plus simples, mais reposant aussi implicitement sur la proposition que la longueur de la circonférence du cercle est toujours intermédiaire entre les longueurs des contours des polygones inscrits et circonscrits, on est arrivé à des degrés d’approximation surpassant beaucoup tout ce qu’on avait obtenu antérieurement. Lagny, par exemple, prenant le diamètre du cercle comme unité, détermina la longueur de la circonférence jusqu’à la cent vingt-huitième décimale. Véga poussa l’approximation jusqu’à cent quarante et un chiffres. Dans un manuscrit conservé à la bibliothèque Ratcliffe, d’Oxford, on trouve, dit-on, le rapport exprimé jusqu’à cent cinquante-cinq décimales. Ces approximations n’ont aucune utilité pratique. Il n’est pas de cas dans les applications les plus abstruses de la science, où l’on soit obligé, à beaucoup près, d’aller aussi loin que les nombres de Lagny, de Véga et de la bibliothèque Ratcliffe permettraient de le faire. C’est ce que je vais démontrer, après avoir consigné ici le rapport en question, jusqu’à la cinquantième décimale. Le diamètre étant 1, la circonférence sera : Il faut bien comprendre qu’en se contentant pour le rapport d’un certain nombre de décimales, celle à laquelle on s’arrête est trop faible et qu’en l’augmentant d’une unité, elle serait trop forte. En sorte que dans tous les cas, on obtiendra deux limites de longueur entre lesquelles la véritable circonférence sera toujours contenue. Ainsi le diamètre, étant 1, le nombre 3.1 donnera une circonférence trop petite ; 3.2 donnerait une circonférence trop grande ; 3.14 donnerait un résultat trop faible, et 3.15 serait trop grand ; 3.141 donnerait une longueur de circonférence trop faible, mais 3.142 serait un résultat trop grand, et ainsi de suite. Cela posé, voyons avec quel degré d’approximation il serait possible de calculer, en s’aidant de tous ces chiffres, la circonférence d’un cercle ayant pour rayon la distance moyenne de la terre au soleil. Cette distance est de 38 millions de lieues, ou 152 billions de mètres ; le diamètre du cercle est donc de 304 billions de mètres. Quelle est l’étoile qui passe maintenant ? Les pléiades se montrent à l’Orient. L’aigle plane au sommet du ciel. Euripide vécut de 480 à 407 avant J.-C. Euclide dit, dans son livre des Phénomènes, que les parties visibles des parallèles parcourus par les étoiles boréales, sont d’autant plus grandes que les distances de ces étoiles au cercle arctique sont plus petites. « On en juge, ajoute-t-il, sur ce que le temps que ces astres passent sous l’horizon est plus ou moins différent de celui qu’ils passent au-dessus » (Delambre, Hist. anc., t. i, p. 52). Ce passage prouve que du temps d’Euclide, 300 ans avant notre ère, on avait des moyens de subdiviser le temps. Les clepsydres, suivant toute apparence, sont d’une date encore plus ancienne que les cadrans solaires. Les clepsydres sont des horloges à l’aide desquelles le temps se mesurait par des effets dépendants de l’écoulement de l’eau. Désirait-on régler la durée des discours que des orateurs, des avocats, devaient prononcer devant une assemblée du peuple, devant un tribunal, etc. ; on se servait de vases ayant des volumes déterminés et qui étaient remplis d’eau : le temps que le liquide mettait à s’écouler entièrement fixait la durée voulue. Plusieurs orateurs devaient-ils parler successivement, les autorité assignaient d’avance une clepsydre à chacun d’eux. De là les expressions : on en est encore à la première, à la seconde, à la troisième eau ; vous empiétez sur mon eau, etc. Il y a dans les discours de Démosthène, de Cicéron, des allusions à cette manière de fixer la durée des discours. Les préposés à l’observation des clepsydres favorisaient leurs amis et nuisaient à leurs adversaires, soit en altérant le diamètre de la petite ouverture par laquelle l’écoulement s’opérait, soit en changeant la capacité du vase renfermant le liquide à l’aide de masses de cire qu’ils fixaient subrepticement aux parois intérieures de ce vase, ou qu’ils enlevaient sans qu’on s’en aperçût. Dans certaines clepsydres, le temps était mesuré, non par l’écoulement total de l’eau, mais par le changement de son niveau. Dans d’autres, dans celles de Ctésibius, l’eau écoulée devenait une force motrice qui, par exemple,allant remplir successivement les divers augets d’une roue, produisait dans cette roue un mouvement de rotation, lequel se communiquait ensuite à un système de roues dentées (fig. 16 et 17). La force motrice résultait, dans d’autres horloges, du mouvement ascensionnel du liquide qui se déversait dans un verre fixe fermé. Un flotteur placé dans ce vase soulevait une crémaillère ; celle-ci, engrenant avec un pignon, faisait tourner un ensemble de roues dentées qui donnaient naissance à des effets très-variés.Ctésibius vivait vers le milieu du second siècle avant l’ère chrétienne.La machine que Scipion Nasica fit ériger, pendant qu’il était censeur, pour subdiviser la durée du jour, fonctionnait, d’après Pline et Censinorus, par l’intermédiaire d’un courant d’eau (Pline, liv. vii, chap. ix).C’était donc une clepsydre, et non un cadran solaire, comme on le suppose ordinairement.La clepsydre de Scipion Nasica était dans un lieu couvert. Pline en fixe l’exécution à l’an 595 de Rome (172 avant J.-C.). Aristote, 350 ans avant notre ère, parlait déjà de roues qui évidemment devaient être dentées ; en effet, dans ses Questions de mécanique (introduction, page 848, colonne A, ligne 18, édition de l’Académie de Berlin), on lit, d’après la traduction qu’a bien voulu me donner notre savant confrère de l’Institut, M. Barthélemy Saint-Hilaire : « D’après cette propriété qu’a le cercle de se mouvoir dans des sens contraires simultanément, c’est-à-dire que l’une des extrémités du diamètre représentée par A (fig. 18), par exemple, se meut en avant, tandis que l’autre représentée par B se meut en arrière, on a pu construire des appareils où par un mouvement unique se meuvent à la fois en sens contraire plusieurs cercles accouplés, comme ces petites roues en airain ou en fer que l’on consacre dans les temples. Soit, en effet, un cercle AB que touche un autre cercle CD. Si le diamètre du cercle AB se meut en avant, celui du cercle CD prendra son mouvement en arrière, le diamètre du cercle AB étant mû autour d’un même point. Le cercle CD marchera donc dans un sens contraire à celui du cercle AB.La Terre
Autour du Soleil Tout le monde sait ce qu’on entend par une ligne droite et une ligne courbe. Ce n’est pas ici le lieu de rechercher si une ligne droite est convenablement définie lorsque l’on dit qu’elle est la plus courte qu’on puisse mener entre deux points donnés, ou la ligne qui ne peut prendre qu’une position entre ces deux points. Une ligne droite telle que l’imagination la conçoit, n’a de dimensions que dans un seul sens, qu’on appelle alors la longueur. L’extrémité d’une ligne droite se nomme un point. Un espace possédant deux dimensions à la fois, longueur et largeur, prend le nom de surface. Une surface peut être plane ou courbe. Elle est plane lorsqu’une ligne droite peut complétement s’y appliquer dans toutes les directions. La surface est courbe quand il s’y trouve des directions suivant lesquelles la ligne droite ne s’y applique pas entièrement. Un plan est complétement déterminé lorsqu’on connaît trois des points par lesquels il doit passer, pourvu que ces points ne soient pas en ligne droite ; en d’autres termes, il est déterminé lorsqu’on connaît deux lignes droites qu’il doit contenir. Une ligne courbe peut être plane ou à double courbure. Une ligne courbe est plane lorsqu’on peut concevoir un plan qui contienne toutes ses parties. Elle est à double courbure quand, semblable à une hélice, toutes ses parties ne peuvent pas être couchées sur un plan. On appelle polygone une figure terminée par des lignes droites qui prennent le nom de côtés du polygone. Une ligne courbe peut être assimilée à un polygone, pourvu qu’on suppose que les côtés de ce polygone soient d’une petitesse extrême, ou pour parler le langage des géomètres, soient infiniment petits. Le plus simple des polygones est le triangle ; il est formé par trois lignes passant deux à deux par trois points. Or, trois points étant nécessaires et suffisants pour déterminer un plan, un triangle rectiligne est nécessairement un plan. Lorsque les trois côtés d’un triangle rectiligne sont inégaux, on dit du triangle qu’il est scalène. Lorsque deux côtés sont égaux, on appelle le triangle isocèle. Le triangle dont les trois côtés sont égaux se nomme un triangle équilatéral. Le polygone terminé par quatre côtés est un quadrilatère ; parmi les quadrilatères on distingue le parallélogramme, le rectangle, le carré, le losange. Un cercle est une surface plane, susceptible dès lors d’être appliquée tout entière sur un plan. Elle est terminée par une courbe dont tous les points sont à la même distance d’un point intérieur qu’on appelle centre. Cette courbe terminatrice est ce qu’on appelle la circonférence du cercle. Une portion de cette courbe s’appelle un arc. La ligne qui va du centre à un point quelconque de la circonférence d’un cercle s’appelle rayon. Cette ligne prolongée jusqu’au point opposé de la circonférence prend le nom de diamètre. Un diamètre est donc égal à deux rayons. L’on a souvent à considérer, surtout en astronomie, non-seulement des cercles entiers, mais des portions de cercle qui ont reçu des noms particuliers. Le contour entier du cercle étant partagé en 360 parties égales, chacune de ces parties s’appelle un degré La considération des degrés pouvait suffire dans l’enfance de la science, mais à mesure que les observations se perfectionnèrent, on sentit le besoin de tenir compte de divisions plus petites que des degrés. Ces divisions furent appelées des minutes. Chaque degré en renferme 60. Lorsque, à l’aide des lunettes, on vint à pouvoir discerner des quantités plus petites que des minutes, on partagea chacune de ces divisions en 60 parties qui furent appelées des secondes. Le nombre total des divisions en secondes contenues dans la circonférence d’un cercle est égal au nombre 21 600 multiplié par 60 ou 1 296 000. Quelques auteurs supposent que chaque seconde est divisée en 60 parties, ce qui donne des tierces ; des soixantièmes de tierces seraient des quartes, et ainsi de suite. Mais les astronomes qui ne veulent pas que les résultats publiés par eux soient entachés d’une précision imaginaire, qui craignent d’être taxés de charlatanisme, ne font aucun usage ni des tierces ni des quartes. Ils s’arrêtent aux secondes, et, quand il y a lieu, aux fractions décimales de ces quantités déjà si petites. Les grandes divisions du cercle ou les degrés sont désignés par un petit zéro placé à droite et un peu en dessus du chiffre qui indique de combien de degrés on entend parler : ainsi 25° veut dire 25 degrés. Les minutes sont indiquées par un petit trait placé de même, et les secondes par deux traits semblables et contigus. Ainsi : 47° 28'37" doit être lu 47 degrés 28 minutes 37 secondes. Les termes de minutes et de secondes par lesquels on désigne des 60es et 3 600es de degrés ont l’inconvénient de s’appliquer aussi dans le langage commun à la mesure de certaines portions du temps ; le premier désignant un 60e d’heure et le second un 60e de minute. Il est rare, cependant, qu’il puisse en résulter une confusion véritable ; les termes des problèmes qu’on se propose de résoudre indiquant toujours suffisamment s’il est question d’espace ou de durée. Au reste, pour éviter toute méprise, on ne manque pas, quand il y a lieu, de dire si l’on parle de minutes et de secondes de degré ou de minutes et de secondes de temps. Dans l’écriture, on a fait aussi une confusion regrettable, en se servant indistinctement des mêmes signes ', ", pour désigner les minutes et secondes de temps et les minutes et secondes de degré. Cette confusion n’existe plus dans les ouvrages modernes, où les minutes et secondes de temps sont indiquées par les petites lettres m et s. Peut-être eût-on bien fait à l’origine de désigner par des noms dissemblables des choses essentiellement différentes ; mais les langues se sont formées avant que la science eût atteint sa perfection. J’indiquerai ici l’habitude plus vicieuse encore, et cependant généralement adoptée, de désigner par la même expression degré, les parties aliquotes de la division du cercle, les 360es de la circonférence et les 80es ou les 100es de l’étendue parcourue par la liqueur thermométrique entre le terme de la glace fondante et la température de l’ébullition de l’eau ; toute confusion entre ces espèces si différentes de degrés ne sera plus à craindre de la part de ceux à qui la possibilité de l’erreur a été une fois signalée. Les anciens regardaient le cercle comme la plus noble des courbes. C’était donc, d’après eux, suivant des cercles que devaient s’opérer tous les mouvements célestes. Cette conception malheureuse jeta les Grecs dans des systèmes d’une extrême complication, qui s’écroulèrent avec fracas et sans retour dès que l’astronomie se fut enrichie d’un certain nombre d’observations précises. Le cercle n’en joue pas moins un rôle très-important au milieu des combinaisons artificielles que l’intelligence humaine a dû créer pour ne pas se perdre au milieu du dédale de mouvements de toutes sortes que les astres éprouvent. Tout diamètre partage le cercle et sa circonférence en deux parties égales. Si une des extrémités du diamètre passe par le zéro de la division d’un cercle gradué, l’autre extrémité aboutira à 360°2360^2 ou au 180e degré. Si l’extrémité d’un diamètre passe par la division qui termine le 90e degré, l’autre extrémité aboutira au 270e puisque les deux extrémités d’un diamètre doivent toujours être éloignées de 180°, et ainsi de suite. C’est un principe important et dont les applications sont très-fécondes, que celui qu’on démontre dans tous les traités de géométrie et qui peut être énoncé ainsi : les circonférences de cercles sont proportionnelles à leurs rayons. Il faut comprendre par cet énoncé, que si après avoir enroulé un fil autour d’une circonférence de cercle d’un rayon égal à 1, le fil aurait le double de longueur si on l’enroulait sur une circonférence, de rayon double ; que la longueur du fil développée serait triple si le rayon était triple, et ainsi de suite. La proportion est vraie, non seulement quand il s’agit de rapports simples comme ceux que nous venons de citer, mais encore à l’égard de circonférences de cercle dont les rayons seraient entre eux dans un rapport quelconque. Ainsi, à des cercles successifs dont les rayons seraient 1,1+110e,1+1100e,1+11,000e,1,1+110^e,1+1100^e,1+11,000^e, etc., correspondraient des circonférences dont la seconde aurait 110e110^e de plus que la première, la troisième 1100e1100^e, la quatrième 11,000e11,000^e etc., toujours de plus que cette première d’un rayon égal à 1. Il faut mettre soigneusement ces résultats en réserve, car nous en ferons bientôt d’utiles applications. Supposons que d’un même point C comme centre (fig. 1), on décrive des circonférences de cercle avec des rayons différents CA, CB, CD, CE, ces circonférences de cercle seront dites concentriques. Admettons qu’une de ces circonférences, la plus petite de toutes, soit divisée en 360 parties égales ou en 360 degrés ; menons du centre commun de ces cercles à chacune des 360 divisions du plus petit, des rayons ; ces rayons prolongés jusqu’à la seconde, à la troisième, à la quatrième circonférence, les partageront en parties égales entre elles dans chaque circonférence, ou en degrés. Puisque les circonférences entières sont proportionnelles aux rayons, les 360es parties de ces circonférences ou leurs degrés seront dans le même rapport. Cela veut dire que le développement rectiligne de l’arc d’un degré pris sur une circonférence d’un rayon double, est double du développement rectiligne d’un degré pris sur une circonférence de rayon simple. De même, le développement rectiligne de l’arc d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1 étant donné, le développement rectiligne d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1+1100e1+1100^e, sera de 1100e1100^e plus grand, et ainsi de suite, quel que soit le rapport des rayons. Nous avons supposé les cercles concentriques afin que ces propositions diverses parussent évidentes d’elles mêmes, mais il est clair que ces propositions auraient la même vérité, quels que fussent les lieux où les cercles, satisfaisant aux conditions précédentes, seraient tracés. Seulement quand les cercles sont concentriques, il suffit que l’un d’entre eux, le plus petit par exemple, ait été exactement divisé en degrés pour qu’on puisse, en prolongeant les divers rayons jusqu’aux autres circonférences, les partager également en degrés. La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite. La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite. Cette coïncidence presque parfaite d’un arc de cercle et d’une ligne droite s’étend jusqu’à l’arc de 1°. La ligne droite qui coïncide ainsi sur une petite étendue avec un arc de cercle est appelée une tangente. L’astronome a souvent à résoudre ce problème : Étant donnée la circonférence d’un cercle, trouver le diamètre ; Et réciproquement, étant donné le diamètre, trouver la circonférence. On y arrive en divisant, dans le premier cas, la circonférence par un certain nombre toujours constant, quel que soit le cercle, et, dans le second cas, en multipliant le diamètre par ce même nombre. On comprend toute l’utilité de la détermination d’un pareil nombre. Puisque nous regardons comme établi que les circonférences du cercle sont mathématiquement entre elles comme leurs rayons, de sorte qu’à un rayon double correspond une circonférence de cercle double, à un rayon triple correspond une circonférence exactement triple, à un rayon décuple, une circonférence décuple et ainsi de suite, il résulte de cette proposition que si l’on connaissait le rapport du rayon, ou ce qui revient au même, de la longueur du diamètre à celle de la circonférence développée en ligne droite pour un cercle d’une étendue donnée, ce même rapport pourrait être appliqué à tout autre cercle d’un diamètre plus grand ou plus petit. Les praticiens ont pu déterminer le rapport du diamètre à la circonférence, ou inversement de la circonférence au diamètre, avec toute l’exactitude que les besoins des arts exigeaient, en comparant simplement la longueur développée d’un fil inextensible qui avait été enroulé sur une circonférence de cercle, à la longueur du diamètre ; mais il n’est resté aucune trace écrite de ces opérations en quelque sorte mécaniques. Archimède, qui vivait de 287 à 212 avant Jésus-Christ, est le plus ancien auteur dans lequel on rencontre une détermination obtenue par voie intellectuelle du rapport du diamètre à la circonférence. L’immortel géomètre de Syracuse trouva que si le diamètre d’un cercle est divisé en sept parties égales, vingt et une de ces parties forment une longueur plus petite et vingt-deux une longueur plus grande que la circonférence développée. Pierre Métius, qui vivait au milieu du XVIe siècle, le père d’un artiste qui éleva des prétentions sur l’invention des lunettes, donna les deux nombres cent treize et trois cent cinquante-cinq comme exprimant très-approximativement le rapport de la longueur du diamètre à celle de la circonférence. Lorsqu’on transforme ce rapport en décimales, on trouve un nombre qui ne s’écarte du rapport, donné plus tard plus exactement, que sur le huitième chiffre. Le rapport de cent treize à trois cent cinquante-cinq (113355)113355a la propriété, comme on l’a démontré depuis, d’être le plus exact de tous ceux qui pourraient être exprimés par un aussi petit nombre de chiffres. On ne sait pas le nom du savant ou de l’artiste qui imagina de donner pour moteur aux petites pendules et aux montres portatives, un ressort plié en spirale et enfermé dans un tambour ou barillet (fig. 21). Cette belle invention paraît avoir été faite à la fin du XVe siècle ou au commencement du XVIe. Derham dit avoir vu une montre qui avait appartenu à Henri VIII d’Angleterre, né en 1491, mort en 1547. Dès l’origine, le ressort spiral, moteur des horloges portatives, était, comme aujourd’hui, attaché par son extrémité extérieure au tambour tournant, et par son autre extrémité à l’arbre immobile formant l’axe de ce même tambour. Les montres qui existent encore, du temps des rois de France Charles IX et Henri III, présentent toutes cette disposition. Le ressort moteur perd de sa force à mesure qu’il se détend. Une montre ainsi construite, malgré l’action du balancier dont nous parlerons plus loin, doit aller vite quand elle vient d’être remontée, et retarder ensuite graduellement. Pour remédier à ce défaut, on imagina la fusée (fig. 22), une des plus belles inventions de l’esprit humain. L’inventeur de la fusée n’est pas connu. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. A mesure que le ressort est moins tendu, il agit sur la fusée à l’extrémité d’un plus grand bras de levier, de manière qu’il y a compensation. Puisque la fusée est dentée à sa base, puisqu’elle engrène directement avec le rouage, puisqu’elle le conduit, si sa tendance à tourner reste constante, l’ensemble du rouage tourne uniformément. Le pendule, dans sa plus grande simplicité, consiste dans un corps pesant A (fig. 23), de petite dimension, suspendu par un fil très-délié, mobile lui-même autour d’un point S, et tel qu’on peut écarter le corps A de sa position verticale pour l’amener à droite ou à gauche en B ou en C et l’abandonner ensuite à lui-même. Le jeune étudiant étant un jour nel Duomo di Pisa, se prit à observer les mouvements d’une lampe suspendue à une corde. Les montres qui existent encore, du temps des rois de France Charles IX et Henri III, présentent toutes cette disposition. Le ressort moteur perd de sa force à mesure qu’il se détend. Une montre ainsi construite, malgré l’action du balancier dont nous parlerons plus loin, doit aller vite quand elle vient d’être remontée, et retarder ensuite graduellement. Pour remédier à ce défaut, on imagina la fusée (fig. 22), une des plus belles inventions de l’esprit humain. L’inventeur de la fusée n’est pas connu. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. À mesure que le ressort est moins tendu, il agit sur la fusée à l’extrémité d’un plus grand bras de levier, de manière qu’il y a compensation. Puisque la fusée est dentée à sa base, puisqu’elle engrène directement avec le rouage, puisqu’elle le conduit, si sa tendance à tourner reste constante, l’ensemble du rouage tourne uniformément. Le pendule, dans sa plus grande simplicité, consiste dans un corps pesant A (fig. 23), de petite dimension, suspendu par un fil très-délié, mobile lui-même autour d’un point S, et tel qu’on peut écarter le corps A de sa position verticale pour l’amener à droite ou à gauche en B ou en C et l’abandonner ensuite à lui-même. On ne sait pas par quels procédés Métius obtint le rapport qui porte son nom. Dans les calculs destinés à déterminer plus exactement le rapport de la circonférence au diamètre, on s’est servi d’un principe qui peut être énoncé ainsi : la circonférence d’un cercle est plus grande que le contour de tout polygone inscrit, et plus petite que le contour du polygone circonscrit. Les contours de ces deux genres de polygones ADCDEF et PQRSTV (fig. 2) peuvent être calculés en parties du rayon OC du cercle circonscrit au polygone intérieur, et en parties de ce même rayon, qui est, pour l’autre polygone, celui du cercle inscrit GHKLMN. Lorsque dans le calcul des développements rectilignes de deux polygones d’un même nombre de côtés en parties du rayon du même cercle, on trouve les mêmes résultats jusqu’à la dixième décimale, par exemple, on peut être assuré d’avoir exactement, jusqu’à cette même décimale, le rapport de la circonférence au diamètre du cercle, puisque ce rapport, répétons-le, doit être intermédiaire entre le rapport que fournit le développement du polygone circonscrit et celui du polygone inscrit, ou en prenant les lettres de la figure, le rapport de la circonférence GHKLMN au rayon OC est plus petit que le rapport du polygone PQRST à ce rayon OC, et plus grand que le rapport du polygone ABCDEF, toujours au même rayon OC. C’est en partant de ce principe que Viete, qui vivait vers la fin du XVIe siècle, exprima le rapport du diamètre à la circonférence avec la précision de onze décimales. Cette exactitude fut bientôt dépassée par le résultat des recherches d’Adrianus Romanus. Ce calculateur belge eut la patience de déterminer les contours de deux polygones, l’un inscrit et l’autre circonscrit à un cercle, et composés chacun de 1 073 741 824 côtés. Les longueurs de ces deux polygones, évaluées en parties du rayon du cercle, avaient seize décimales communes ; dès lors le rapport du diamètre à la circonférence pouvait être donné jusqu’à la précision d’une unité sur la seizième décimale. Ludolph Van Ceulen, de Cologne, étendit la précision en suivant la même méthode jusqu’à la trente-sixième décimale. Par des moyens de calcul plus abrégés, plus simples, mais reposant aussi implicitement sur la proposition que la longueur de la circonférence du cercle est toujours intermédiaire entre les longueurs des contours des polygones inscrits et circonscrits, on est arrivé à des degrés d’approximation surpassant beaucoup tout ce qu’on avait obtenu antérieurement. Lagny, par exemple, prenant le diamètre du cercle comme unité, détermina la longueur de la circonférence jusqu’à la cent vingt-huitième décimale. Véga poussa l’approximation jusqu’à cent quarante et un chiffres. Dans un manuscrit conservé à la bibliothèque Ratcliffe, d’Oxford, on trouve, dit-on, le rapport exprimé jusqu’à cent cinquante-cinq décimales. Ces approximations n’ont aucune utilité pratique. Il n’est pas de cas dans les applications les plus abstruses de la science, où l’on soit obligé, à beaucoup près, d’aller aussi loin que les nombres de Lagny, de Véga et de la bibliothèque Ratcliffe permettraient de le faire. C’est ce que je vais démontrer, après avoir consigné ici le rapport en question, jusqu’à la cinquantième décimale. Le diamètre étant 1, la circonférence sera : Il faut bien comprendre qu’en se contentant pour le rapport d’un certain nombre de décimales, celle à laquelle on s’arrête est trop faible et qu’en l’augmentant d’une unité, elle serait trop forte. En sorte que dans tous les cas, on obtiendra deux limites de longueur entre lesquelles la véritable circonférence sera toujours contenue. Ainsi le diamètre, étant 1, le nombre 3.1 donnera une circonférence trop petite ; 3.2 donnerait une circonférence trop grande ; 3.14 donnerait un résultat trop faible, et 3.15 serait trop grand ; 3.141 donnerait une longueur de circonférence trop faible, mais 3.142 serait un résultat trop grand, et ainsi de suite. Cela posé, voyons avec quel degré d’approximation il serait possible de calculer, en s’aidant de tous ces chiffres, la circonférence d’un cercle ayant pour rayon la distance moyenne de la terre au soleil. Cette distance est de 38 millions de lieues, ou 152 billions de mètres ; le diamètre du cercle est donc de 304 billions de mètres. Quelle est l’étoile qui passe maintenant ? Les pléiades se montrent à l’Orient. L’aigle plane au sommet du ciel. Euripide vécut de 480 à 407 avant J.-C. Euclide dit, dans son livre des Phénomènes, que les parties visibles des parallèles parcourus par les étoiles boréales, sont d’autant plus grandes que les distances de ces étoiles au cercle arctique sont plus petites. « On en juge, ajoute-t-il, sur ce que le temps que ces astres passent sous l’horizon est plus ou moins différent de celui qu’ils passent au-dessus » (Delambre, Hist. anc., t. i, p. 52). Ce passage prouve que du temps d’Euclide, 300 ans avant notre ère, on avait des moyens de subdiviser le temps. Les clepsydres, suivant toute apparence, sont d’une date encore plus ancienne que les cadrans solaires. Les clepsydres sont des horloges à l’aide desquelles le temps se mesurait par des effets dépendants de l’écoulement de l’eau. Désirait-on régler la durée des discours que des orateurs, des avocats, devaient prononcer devant une assemblée du peuple, devant un tribunal, etc. ; on se servait de vases ayant des volumes déterminés et qui étaient remplis d’eau : le temps que le liquide mettait à s’écouler entièrement fixait la durée voulue. Plusieurs orateurs devaient-ils parler successivement, les autorité assignaient d’avance une clepsydre à chacun d’eux. De là les expressions : on en est encore à la première, à la seconde, à la troisième eau ; vous empiétez sur mon eau, etc. Il y a dans les discours de Démosthène, de Cicéron, des allusions à cette manière de fixer la durée des discours. Les préposés à l’observation des clepsydres favorisaient leurs amis et nuisaient à leurs adversaires, soit en altérant le diamètre de la petite ouverture par laquelle l’écoulement s’opérait, soit en changeant la capacité du vase renfermant le liquide à l’aide de masses de cire qu’ils fixaient subrepticement aux parois intérieures de ce vase, ou qu’ils enlevaient sans qu’on s’en aperçût. Dans certaines clepsydres, le temps était mesuré, non par l’écoulement total de l’eau, mais par le changement de son niveau. Dans d’autres, dans celles de Ctésibius, l’eau écoulée devenait une force motrice qui, par exemple,allant remplir successivement les divers augets d’une roue, produisait dans cette roue un mouvement de rotation, lequel se communiquait ensuite à un système de roues dentées (fig. 16 et 17). La force motrice résultait, dans d’autres horloges, du mouvement ascensionnel du liquide qui se déversait dans un verre fixe fermé. Un flotteur placé dans ce vase soulevait une crémaillère ; celle-ci, engrenant avec un pignon, faisait tourner un ensemble de roues dentées qui donnaient naissance à des effets très-variés.Ctésibius vivait vers le milieu du second siècle avant l’ère chrétienne.La machine que Scipion Nasica fit ériger, pendant qu’il était censeur, pour subdiviser la durée du jour, fonctionnait, d’après Pline et Censinorus, par l’intermédiaire d’un courant d’eau (Pline, liv. vii, chap. ix).C’était donc une clepsydre, et non un cadran solaire, comme on le suppose ordinairement.La clepsydre de Scipion Nasica était dans un lieu couvert. Pline en fixe l’exécution à l’an 595 de Rome (172 avant J.-C.). Aristote, 350 ans avant notre ère, parlait déjà de roues qui évidemment devaient être dentées ; en effet, dans ses Questions de mécanique (introduction, page 848, colonne A, ligne 18, édition de l’Académie de Berlin), on lit, d’après la traduction qu’a bien voulu me donner notre savant confrère de l’Institut, M. Barthélemy Saint-Hilaire : « D’après cette propriété qu’a le cercle de se mouvoir dans des sens contraires simultanément, c’est-à-dire que l’une des extrémités du diamètre représentée par A (fig. 18), par exemple, se meut en avant, tandis que l’autre représentée par B se meut en arrière, on a pu construire des appareils où par un mouvement unique se meuvent à la fois en sens contraire plusieurs cercles accouplés, comme ces petites roues en airain ou en fer que l’on consacre dans les temples. Soit, en effet, un cercle AB que touche un autre cercle CD. Si le diamètre du cercle AB se meut en avant, celui du cercle CD prendra son mouvement en arrière, le diamètre du cercle AB étant mû autour d’un même point. Le cercle CD marchera donc dans un sens contraire à celui du cercle AB.Autour du Soleil
La surface est courbe Tout le monde sait ce qu’on entend par une ligne droite et une ligne courbe. Ce n’est pas ici le lieu de rechercher si une ligne droite est convenablement définie lorsque l’on dit qu’elle est la plus courte qu’on puisse mener entre deux points donnés, ou la ligne qui ne peut prendre qu’une position entre ces deux points. Une ligne droite telle que l’imagination la conçoit, n’a de dimensions que dans un seul sens, qu’on appelle alors la longueur. L’extrémité d’une ligne droite se nomme un point. Un espace possédant deux dimensions à la fois, longueur et largeur, prend le nom de surface. Une surface peut être plane ou courbe. Elle est plane lorsqu’une ligne droite peut complétement s’y appliquer dans toutes les directions. La surface est courbe quand il s’y trouve des directions suivant lesquelles la ligne droite ne s’y applique pas entièrement. Un plan est complétement déterminé lorsqu’on connaît trois des points par lesquels il doit passer, pourvu que ces points ne soient pas en ligne droite ; en d’autres termes, il est déterminé lorsqu’on connaît deux lignes droites qu’il doit contenir. Une ligne courbe peut être plane ou à double courbure. Une ligne courbe est plane lorsqu’on peut concevoir un plan qui contienne toutes ses parties. Elle est à double courbure quand, semblable à une hélice, toutes ses parties ne peuvent pas être couchées sur un plan. On appelle polygone une figure terminée par des lignes droites qui prennent le nom de côtés du polygone. Une ligne courbe peut être assimilée à un polygone, pourvu qu’on suppose que les côtés de ce polygone soient d’une petitesse extrême, ou pour parler le langage des géomètres, soient infiniment petits. Le plus simple des polygones est le triangle ; il est formé par trois lignes passant deux à deux par trois points. Or, trois points étant nécessaires et suffisants pour déterminer un plan, un triangle rectiligne est nécessairement un plan. Lorsque les trois côtés d’un triangle rectiligne sont inégaux, on dit du triangle qu’il est scalène. Lorsque deux côtés sont égaux, on appelle le triangle isocèle. Le triangle dont les trois côtés sont égaux se nomme un triangle équilatéral. Le polygone terminé par quatre côtés est un quadrilatère ; parmi les quadrilatères on distingue le parallélogramme, le rectangle, le carré, le losange. Un cercle est une surface plane, susceptible dès lors d’être appliquée tout entière sur un plan. Elle est terminée par une courbe dont tous les points sont à la même distance d’un point intérieur qu’on appelle centre. Cette courbe terminatrice est ce qu’on appelle la circonférence du cercle. Une portion de cette courbe s’appelle un arc. La ligne qui va du centre à un point quelconque de la circonférence d’un cercle s’appelle rayon. Cette ligne prolongée jusqu’au point opposé de la circonférence prend le nom de diamètre. Un diamètre est donc égal à deux rayons. L’on a souvent à considérer, surtout en astronomie, non-seulement des cercles entiers, mais des portions de cercle qui ont reçu des noms particuliers. Le contour entier du cercle étant partagé en 360 parties égales, chacune de ces parties s’appelle un degré La considération des degrés pouvait suffire dans l’enfance de la science, mais à mesure que les observations se perfectionnèrent, on sentit le besoin de tenir compte de divisions plus petites que des degrés. Ces divisions furent appelées des minutes. Chaque degré en renferme 60. Lorsque, à l’aide des lunettes, on vint à pouvoir discerner des quantités plus petites que des minutes, on partagea chacune de ces divisions en 60 parties qui furent appelées des secondes. Le nombre total des divisions en secondes contenues dans la circonférence d’un cercle est égal au nombre 21 600 multiplié par 60 ou 1 296 000. Quelques auteurs supposent que chaque seconde est divisée en 60 parties, ce qui donne des tierces ; des soixantièmes de tierces seraient des quartes, et ainsi de suite. Mais les astronomes qui ne veulent pas que les résultats publiés par eux soient entachés d’une précision imaginaire, qui craignent d’être taxés de charlatanisme, ne font aucun usage ni des tierces ni des quartes. Ils s’arrêtent aux secondes, et, quand il y a lieu, aux fractions décimales de ces quantités déjà si petites. Les grandes divisions du cercle ou les degrés sont désignés par un petit zéro placé à droite et un peu en dessus du chiffre qui indique de combien de degrés on entend parler : ainsi 25° veut dire 25 degrés. Les minutes sont indiquées par un petit trait placé de même, et les secondes par deux traits semblables et contigus. Ainsi : 47° 28'37" doit être lu 47 degrés 28 minutes 37 secondes. Les termes de minutes et de secondes par lesquels on désigne des 60es et 3 600es de degrés ont l’inconvénient de s’appliquer aussi dans le langage commun à la mesure de certaines portions du temps ; le premier désignant un 60e d’heure et le second un 60e de minute. Il est rare, cependant, qu’il puisse en résulter une confusion véritable ; les termes des problèmes qu’on se propose de résoudre indiquant toujours suffisamment s’il est question d’espace ou de durée. Au reste, pour éviter toute méprise, on ne manque pas, quand il y a lieu, de dire si l’on parle de minutes et de secondes de degré ou de minutes et de secondes de temps. Dans l’écriture, on a fait aussi une confusion regrettable, en se servant indistinctement des mêmes signes ', ", pour désigner les minutes et secondes de temps et les minutes et secondes de degré. Cette confusion n’existe plus dans les ouvrages modernes, où les minutes et secondes de temps sont indiquées par les petites lettres m et s. Peut-être eût-on bien fait à l’origine de désigner par des noms dissemblables des choses essentiellement différentes ; mais les langues se sont formées avant que la science eût atteint sa perfection. J’indiquerai ici l’habitude plus vicieuse encore, et cependant généralement adoptée, de désigner par la même expression degré, les parties aliquotes de la division du cercle, les 360es de la circonférence et les 80es ou les 100es de l’étendue parcourue par la liqueur thermométrique entre le terme de la glace fondante et la température de l’ébullition de l’eau ; toute confusion entre ces espèces si différentes de degrés ne sera plus à craindre de la part de ceux à qui la possibilité de l’erreur a été une fois signalée. Les anciens regardaient le cercle comme la plus noble des courbes. C’était donc, d’après eux, suivant des cercles que devaient s’opérer tous les mouvements célestes. Cette conception malheureuse jeta les Grecs dans des systèmes d’une extrême complication, qui s’écroulèrent avec fracas et sans retour dès que l’astronomie se fut enrichie d’un certain nombre d’observations précises. Le cercle n’en joue pas moins un rôle très-important au milieu des combinaisons artificielles que l’intelligence humaine a dû créer pour ne pas se perdre au milieu du dédale de mouvements de toutes sortes que les astres éprouvent. Tout diamètre partage le cercle et sa circonférence en deux parties égales. Si une des extrémités du diamètre passe par le zéro de la division d’un cercle gradué, l’autre extrémité aboutira à 360°2360^2 ou au 180e degré. Si l’extrémité d’un diamètre passe par la division qui termine le 90e degré, l’autre extrémité aboutira au 270e puisque les deux extrémités d’un diamètre doivent toujours être éloignées de 180°, et ainsi de suite. C’est un principe important et dont les applications sont très-fécondes, que celui qu’on démontre dans tous les traités de géométrie et qui peut être énoncé ainsi : les circonférences de cercles sont proportionnelles à leurs rayons. Il faut comprendre par cet énoncé, que si après avoir enroulé un fil autour d’une circonférence de cercle d’un rayon égal à 1, le fil aurait le double de longueur si on l’enroulait sur une circonférence, de rayon double ; que la longueur du fil développée serait triple si le rayon était triple, et ainsi de suite. La proportion est vraie, non seulement quand il s’agit de rapports simples comme ceux que nous venons de citer, mais encore à l’égard de circonférences de cercle dont les rayons seraient entre eux dans un rapport quelconque. Ainsi, à des cercles successifs dont les rayons seraient 1,1+110e,1+1100e,1+11,000e,1,1+110^e,1+1100^e,1+11,000^e, etc., correspondraient des circonférences dont la seconde aurait 110e110^e de plus que la première, la troisième 1100e1100^e, la quatrième 11,000e11,000^e etc., toujours de plus que cette première d’un rayon égal à 1. Il faut mettre soigneusement ces résultats en réserve, car nous en ferons bientôt d’utiles applications. Supposons que d’un même point C comme centre (fig. 1), on décrive des circonférences de cercle avec des rayons différents CA, CB, CD, CE, ces circonférences de cercle seront dites concentriques. Admettons qu’une de ces circonférences, la plus petite de toutes, soit divisée en 360 parties égales ou en 360 degrés ; menons du centre commun de ces cercles à chacune des 360 divisions du plus petit, des rayons ; ces rayons prolongés jusqu’à la seconde, à la troisième, à la quatrième circonférence, les partageront en parties égales entre elles dans chaque circonférence, ou en degrés. Puisque les circonférences entières sont proportionnelles aux rayons, les 360es parties de ces circonférences ou leurs degrés seront dans le même rapport. Cela veut dire que le développement rectiligne de l’arc d’un degré pris sur une circonférence d’un rayon double, est double du développement rectiligne d’un degré pris sur une circonférence de rayon simple. De même, le développement rectiligne de l’arc d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1 étant donné, le développement rectiligne d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1+1100e1+1100^e, sera de 1100e1100^e plus grand, et ainsi de suite, quel que soit le rapport des rayons. Nous avons supposé les cercles concentriques afin que ces propositions diverses parussent évidentes d’elles mêmes, mais il est clair que ces propositions auraient la même vérité, quels que fussent les lieux où les cercles, satisfaisant aux conditions précédentes, seraient tracés. Seulement quand les cercles sont concentriques, il suffit que l’un d’entre eux, le plus petit par exemple, ait été exactement divisé en degrés pour qu’on puisse, en prolongeant les divers rayons jusqu’aux autres circonférences, les partager également en degrés. La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite. La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite. Cette coïncidence presque parfaite d’un arc de cercle et d’une ligne droite s’étend jusqu’à l’arc de 1°. La ligne droite qui coïncide ainsi sur une petite étendue avec un arc de cercle est appelée une tangente. L’astronome a souvent à résoudre ce problème : Étant donnée la circonférence d’un cercle, trouver le diamètre ; Et réciproquement, étant donné le diamètre, trouver la circonférence. On y arrive en divisant, dans le premier cas, la circonférence par un certain nombre toujours constant, quel que soit le cercle, et, dans le second cas, en multipliant le diamètre par ce même nombre. On comprend toute l’utilité de la détermination d’un pareil nombre. Puisque nous regardons comme établi que les circonférences du cercle sont mathématiquement entre elles comme leurs rayons, de sorte qu’à un rayon double correspond une circonférence de cercle double, à un rayon triple correspond une circonférence exactement triple, à un rayon décuple, une circonférence décuple et ainsi de suite, il résulte de cette proposition que si l’on connaissait le rapport du rayon, ou ce qui revient au même, de la longueur du diamètre à celle de la circonférence développée en ligne droite pour un cercle d’une étendue donnée, ce même rapport pourrait être appliqué à tout autre cercle d’un diamètre plus grand ou plus petit. Les praticiens ont pu déterminer le rapport du diamètre à la circonférence, ou inversement de la circonférence au diamètre, avec toute l’exactitude que les besoins des arts exigeaient, en comparant simplement la longueur développée d’un fil inextensible qui avait été enroulé sur une circonférence de cercle, à la longueur du diamètre ; mais il n’est resté aucune trace écrite de ces opérations en quelque sorte mécaniques. Archimède, qui vivait de 287 à 212 avant Jésus-Christ, est le plus ancien auteur dans lequel on rencontre une détermination obtenue par voie intellectuelle du rapport du diamètre à la circonférence. L’immortel géomètre de Syracuse trouva que si le diamètre d’un cercle est divisé en sept parties égales, vingt et une de ces parties forment une longueur plus petite et vingt-deux une longueur plus grande que la circonférence développée. Pierre Métius, qui vivait au milieu du XVIe siècle, le père d’un artiste qui éleva des prétentions sur l’invention des lunettes, donna les deux nombres cent treize et trois cent cinquante-cinq comme exprimant très-approximativement le rapport de la longueur du diamètre à celle de la circonférence. Lorsqu’on transforme ce rapport en décimales, on trouve un nombre qui ne s’écarte du rapport, donné plus tard plus exactement, que sur le huitième chiffre. Le rapport de cent treize à trois cent cinquante-cinq (113355)113355a la propriété, comme on l’a démontré depuis, d’être le plus exact de tous ceux qui pourraient être exprimés par un aussi petit nombre de chiffres. On ne sait pas le nom du savant ou de l’artiste qui imagina de donner pour moteur aux petites pendules et aux montres portatives, un ressort plié en spirale et enfermé dans un tambour ou barillet (fig. 21). Cette belle invention paraît avoir été faite à la fin du XVe siècle ou au commencement du XVIe. Derham dit avoir vu une montre qui avait appartenu à Henri VIII d’Angleterre, né en 1491, mort en 1547. Dès l’origine, le ressort spiral, moteur des horloges portatives, était, comme aujourd’hui, attaché par son extrémité extérieure au tambour tournant, et par son autre extrémité à l’arbre immobile formant l’axe de ce même tambour. Les montres qui existent encore, du temps des rois de France Charles IX et Henri III, présentent toutes cette disposition. Le ressort moteur perd de sa force à mesure qu’il se détend. Une montre ainsi construite, malgré l’action du balancier dont nous parlerons plus loin, doit aller vite quand elle vient d’être remontée, et retarder ensuite graduellement. Pour remédier à ce défaut, on imagina la fusée (fig. 22), une des plus belles inventions de l’esprit humain. L’inventeur de la fusée n’est pas connu. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. A mesure que le ressort est moins tendu, il agit sur la fusée à l’extrémité d’un plus grand bras de levier, de manière qu’il y a compensation. Puisque la fusée est dentée à sa base, puisqu’elle engrène directement avec le rouage, puisqu’elle le conduit, si sa tendance à tourner reste constante, l’ensemble du rouage tourne uniformément. Le pendule, dans sa plus grande simplicité, consiste dans un corps pesant A (fig. 23), de petite dimension, suspendu par un fil très-délié, mobile lui-même autour d’un point S, et tel qu’on peut écarter le corps A de sa position verticale pour l’amener à droite ou à gauche en B ou en C et l’abandonner ensuite à lui-même. Le jeune étudiant étant un jour nel Duomo di Pisa, se prit à observer les mouvements d’une lampe suspendue à une corde. Les montres qui existent encore, du temps des rois de France Charles IX et Henri III, présentent toutes cette disposition. Le ressort moteur perd de sa force à mesure qu’il se détend. Une montre ainsi construite, malgré l’action du balancier dont nous parlerons plus loin, doit aller vite quand elle vient d’être remontée, et retarder ensuite graduellement. Pour remédier à ce défaut, on imagina la fusée (fig. 22), une des plus belles inventions de l’esprit humain. L’inventeur de la fusée n’est pas connu. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. À mesure que le ressort est moins tendu, il agit sur la fusée à l’extrémité d’un plus grand bras de levier, de manière qu’il y a compensation. Puisque la fusée est dentée à sa base, puisqu’elle engrène directement avec le rouage, puisqu’elle le conduit, si sa tendance à tourner reste constante, l’ensemble du rouage tourne uniformément. Le pendule, dans sa plus grande simplicité, consiste dans un corps pesant A (fig. 23), de petite dimension, suspendu par un fil très-délié, mobile lui-même autour d’un point S, et tel qu’on peut écarter le corps A de sa position verticale pour l’amener à droite ou à gauche en B ou en C et l’abandonner ensuite à lui-même. On ne sait pas par quels procédés Métius obtint le rapport qui porte son nom. Dans les calculs destinés à déterminer plus exactement le rapport de la circonférence au diamètre, on s’est servi d’un principe qui peut être énoncé ainsi : la circonférence d’un cercle est plus grande que le contour de tout polygone inscrit, et plus petite que le contour du polygone circonscrit. Les contours de ces deux genres de polygones ADCDEF et PQRSTV (fig. 2) peuvent être calculés en parties du rayon OC du cercle circonscrit au polygone intérieur, et en parties de ce même rayon, qui est, pour l’autre polygone, celui du cercle inscrit GHKLMN. Lorsque dans le calcul des développements rectilignes de deux polygones d’un même nombre de côtés en parties du rayon du même cercle, on trouve les mêmes résultats jusqu’à la dixième décimale, par exemple, on peut être assuré d’avoir exactement, jusqu’à cette même décimale, le rapport de la circonférence au diamètre du cercle, puisque ce rapport, répétons-le, doit être intermédiaire entre le rapport que fournit le développement du polygone circonscrit et celui du polygone inscrit, ou en prenant les lettres de la figure, le rapport de la circonférence GHKLMN au rayon OC est plus petit que le rapport du polygone PQRST à ce rayon OC, et plus grand que le rapport du polygone ABCDEF, toujours au même rayon OC. C’est en partant de ce principe que Viete, qui vivait vers la fin du XVIe siècle, exprima le rapport du diamètre à la circonférence avec la précision de onze décimales. Cette exactitude fut bientôt dépassée par le résultat des recherches d’Adrianus Romanus. Ce calculateur belge eut la patience de déterminer les contours de deux polygones, l’un inscrit et l’autre circonscrit à un cercle, et composés chacun de 1 073 741 824 côtés. Les longueurs de ces deux polygones, évaluées en parties du rayon du cercle, avaient seize décimales communes ; dès lors le rapport du diamètre à la circonférence pouvait être donné jusqu’à la précision d’une unité sur la seizième décimale. Ludolph Van Ceulen, de Cologne, étendit la précision en suivant la même méthode jusqu’à la trente-sixième décimale. Par des moyens de calcul plus abrégés, plus simples, mais reposant aussi implicitement sur la proposition que la longueur de la circonférence du cercle est toujours intermédiaire entre les longueurs des contours des polygones inscrits et circonscrits, on est arrivé à des degrés d’approximation surpassant beaucoup tout ce qu’on avait obtenu antérieurement. Lagny, par exemple, prenant le diamètre du cercle comme unité, détermina la longueur de la circonférence jusqu’à la cent vingt-huitième décimale. Véga poussa l’approximation jusqu’à cent quarante et un chiffres. Dans un manuscrit conservé à la bibliothèque Ratcliffe, d’Oxford, on trouve, dit-on, le rapport exprimé jusqu’à cent cinquante-cinq décimales. Ces approximations n’ont aucune utilité pratique. Il n’est pas de cas dans les applications les plus abstruses de la science, où l’on soit obligé, à beaucoup près, d’aller aussi loin que les nombres de Lagny, de Véga et de la bibliothèque Ratcliffe permettraient de le faire. C’est ce que je vais démontrer, après avoir consigné ici le rapport en question, jusqu’à la cinquantième décimale. Le diamètre étant 1, la circonférence sera : Il faut bien comprendre qu’en se contentant pour le rapport d’un certain nombre de décimales, celle à laquelle on s’arrête est trop faible et qu’en l’augmentant d’une unité, elle serait trop forte. En sorte que dans tous les cas, on obtiendra deux limites de longueur entre lesquelles la véritable circonférence sera toujours contenue. Ainsi le diamètre, étant 1, le nombre 3.1 donnera une circonférence trop petite ; 3.2 donnerait une circonférence trop grande ; 3.14 donnerait un résultat trop faible, et 3.15 serait trop grand ; 3.141 donnerait une longueur de circonférence trop faible, mais 3.142 serait un résultat trop grand, et ainsi de suite. Cela posé, voyons avec quel degré d’approximation il serait possible de calculer, en s’aidant de tous ces chiffres, la circonférence d’un cercle ayant pour rayon la distance moyenne de la terre au soleil. Cette distance est de 38 millions de lieues, ou 152 billions de mètres ; le diamètre du cercle est donc de 304 billions de mètres. Quelle est l’étoile qui passe maintenant ? Les pléiades se montrent à l’Orient. L’aigle plane au sommet du ciel. Euripide vécut de 480 à 407 avant J.-C. Euclide dit, dans son livre des Phénomènes, que les parties visibles des parallèles parcourus par les étoiles boréales, sont d’autant plus grandes que les distances de ces étoiles au cercle arctique sont plus petites. « On en juge, ajoute-t-il, sur ce que le temps que ces astres passent sous l’horizon est plus ou moins différent de celui qu’ils passent au-dessus » (Delambre, Hist. anc., t. i, p. 52). Ce passage prouve que du temps d’Euclide, 300 ans avant notre ère, on avait des moyens de subdiviser le temps. Les clepsydres, suivant toute apparence, sont d’une date encore plus ancienne que les cadrans solaires. Les clepsydres sont des horloges à l’aide desquelles le temps se mesurait par des effets dépendants de l’écoulement de l’eau. Désirait-on régler la durée des discours que des orateurs, des avocats, devaient prononcer devant une assemblée du peuple, devant un tribunal, etc. ; on se servait de vases ayant des volumes déterminés et qui étaient remplis d’eau : le temps que le liquide mettait à s’écouler entièrement fixait la durée voulue. Plusieurs orateurs devaient-ils parler successivement, les autorité assignaient d’avance une clepsydre à chacun d’eux. De là les expressions : on en est encore à la première, à la seconde, à la troisième eau ; vous empiétez sur mon eau, etc. Il y a dans les discours de Démosthène, de Cicéron, des allusions à cette manière de fixer la durée des discours. Les préposés à l’observation des clepsydres favorisaient leurs amis et nuisaient à leurs adversaires, soit en altérant le diamètre de la petite ouverture par laquelle l’écoulement s’opérait, soit en changeant la capacité du vase renfermant le liquide à l’aide de masses de cire qu’ils fixaient subrepticement aux parois intérieures de ce vase, ou qu’ils enlevaient sans qu’on s’en aperçût. Dans certaines clepsydres, le temps était mesuré, non par l’écoulement total de l’eau, mais par le changement de son niveau. Dans d’autres, dans celles de Ctésibius, l’eau écoulée devenait une force motrice qui, par exemple,allant remplir successivement les divers augets d’une roue, produisait dans cette roue un mouvement de rotation, lequel se communiquait ensuite à un système de roues dentées (fig. 16 et 17). La force motrice résultait, dans d’autres horloges, du mouvement ascensionnel du liquide qui se déversait dans un verre fixe fermé. Un flotteur placé dans ce vase soulevait une crémaillère ; celle-ci, engrenant avec un pignon, faisait tourner un ensemble de roues dentées qui donnaient naissance à des effets très-variés.Ctésibius vivait vers le milieu du second siècle avant l’ère chrétienne.La machine que Scipion Nasica fit ériger, pendant qu’il était censeur, pour subdiviser la durée du jour, fonctionnait, d’après Pline et Censinorus, par l’intermédiaire d’un courant d’eau (Pline, liv. vii, chap. ix).C’était donc une clepsydre, et non un cadran solaire, comme on le suppose ordinairement.La clepsydre de Scipion Nasica était dans un lieu couvert. Pline en fixe l’exécution à l’an 595 de Rome (172 avant J.-C.). Aristote, 350 ans avant notre ère, parlait déjà de roues qui évidemment devaient être dentées ; en effet, dans ses Questions de mécanique (introduction, page 848, colonne A, ligne 18, édition de l’Académie de Berlin), on lit, d’après la traduction qu’a bien voulu me donner notre savant confrère de l’Institut, M. Barthélemy Saint-Hilaire : « D’après cette propriété qu’a le cercle de se mouvoir dans des sens contraires simultanément, c’est-à-dire que l’une des extrémités du diamètre représentée par A (fig. 18), par exemple, se meut en avant, tandis que l’autre représentée par B se meut en arrière, on a pu construire des appareils où par un mouvement unique se meuvent à la fois en sens contraire plusieurs cercles accouplés, comme ces petites roues en airain ou en fer que l’on consacre dans les temples. Soit, en effet, un cercle AB que touche un autre cercle CD. Si le diamètre du cercle AB se meut en avant, celui du cercle CD prendra son mouvement en arrière, le diamètre du cercle AB étant mû autour d’un même point. Le cercle CD marchera donc dans un sens contraire à celui du cercle AB.La surface est courbe
Tout le monde sait ce qu’on entend par une ligne droite et une ligne courbe. Ce n’est pas ici le lieu de rechercher si une ligne droite est convenablement définie lorsque l’on dit qu’elle est la plus courte qu’on puisse mener entre deux points donnés, ou la ligne qui ne peut prendre qu’une position entre ces deux points. Une ligne droite telle que l’imagination la conçoit, n’a de dimensions que dans un seul sens, qu’on appelle alors la longueur. L’extrémité d’une ligne droite se nomme un point. Un espace possédant deux dimensions à la fois, longueur et largeur, prend le nom de surface. Une surface peut être plane ou courbe. Elle est plane lorsqu’une ligne droite peut complétement s’y appliquer dans toutes les directions. La surface est courbe quand il s’y trouve des directions suivant lesquelles la ligne droite ne s’y applique pas entièrement. Un plan est complétement déterminé lorsqu’on connaît trois des points par lesquels il doit passer, pourvu que ces points ne soient pas en ligne droite ; en d’autres termes, il est déterminé lorsqu’on connaît deux lignes droites qu’il doit contenir. Une ligne courbe peut être plane ou à double courbure. Une ligne courbe est plane lorsqu’on peut concevoir un plan qui contienne toutes ses parties. Elle est à double courbure quand, semblable à une hélice, toutes ses parties ne peuvent pas être couchées sur un plan. On appelle polygone une figure terminée par des lignes droites qui prennent le nom de côtés du polygone. Une ligne courbe peut être assimilée à un polygone, pourvu qu’on suppose que les côtés de ce polygone soient d’une petitesse extrême, ou pour parler le langage des géomètres, soient infiniment petits. Le plus simple des polygones est le triangle ; il est formé par trois lignes passant deux à deux par trois points. Or, trois points étant nécessaires et suffisants pour déterminer un plan, un triangle rectiligne est nécessairement un plan. Lorsque les trois côtés d’un triangle rectiligne sont inégaux, on dit du triangle qu’il est scalène. Lorsque deux côtés sont égaux, on appelle le triangle isocèle. Le triangle dont les trois côtés sont égaux se nomme un triangle équilatéral. Le polygone terminé par quatre côtés est un quadrilatère ; parmi les quadrilatères on distingue le parallélogramme, le rectangle, le carré, le losange. Un cercle est une surface plane, susceptible dès lors d’être appliquée tout entière sur un plan. Elle est terminée par une courbe dont tous les points sont à la même distance d’un point intérieur qu’on appelle centre. Cette courbe terminatrice est ce qu’on appelle la circonférence du cercle. Une portion de cette courbe s’appelle un arc. La ligne qui va du centre à un point quelconque de la circonférence d’un cercle s’appelle rayon. Cette ligne prolongée jusqu’au point opposé de la circonférence prend le nom de diamètre. Un diamètre est donc égal à deux rayons. L’on a souvent à considérer, surtout en astronomie, non-seulement des cercles entiers, mais des portions de cercle qui ont reçu des noms particuliers. Le contour entier du cercle étant partagé en 360 parties égales, chacune de ces parties s’appelle un degré La considération des degrés pouvait suffire dans l’enfance de la science, mais à mesure que les observations se perfectionnèrent, on sentit le besoin de tenir compte de divisions plus petites que des degrés. Ces divisions furent appelées des minutes. Chaque degré en renferme 60. Lorsque, à l’aide des lunettes, on vint à pouvoir discerner des quantités plus petites que des minutes, on partagea chacune de ces divisions en 60 parties qui furent appelées des secondes. Le nombre total des divisions en secondes contenues dans la circonférence d’un cercle est égal au nombre 21 600 multiplié par 60 ou 1 296 000. Quelques auteurs supposent que chaque seconde est divisée en 60 parties, ce qui donne des tierces ; des soixantièmes de tierces seraient des quartes, et ainsi de suite. Mais les astronomes qui ne veulent pas que les résultats publiés par eux soient entachés d’une précision imaginaire, qui craignent d’être taxés de charlatanisme, ne font aucun usage ni des tierces ni des quartes. Ils s’arrêtent aux secondes, et, quand il y a lieu, aux fractions décimales de ces quantités déjà si petites. Les grandes divisions du cercle ou les degrés sont désignés par un petit zéro placé à droite et un peu en dessus du chiffre qui indique de combien de degrés on entend parler : ainsi 25° veut dire 25 degrés. Les minutes sont indiquées par un petit trait placé de même, et les secondes par deux traits semblables et contigus. Ainsi : 47° 28'37" doit être lu 47 degrés 28 minutes 37 secondes. Les termes de minutes et de secondes par lesquels on désigne des 60es et 3 600es de degrés ont l’inconvénient de s’appliquer aussi dans le langage commun à la mesure de certaines portions du temps ; le premier désignant un 60e d’heure et le second un 60e de minute. Il est rare, cependant, qu’il puisse en résulter une confusion véritable ; les termes des problèmes qu’on se propose de résoudre indiquant toujours suffisamment s’il est question d’espace ou de durée. Au reste, pour éviter toute méprise, on ne manque pas, quand il y a lieu, de dire si l’on parle de minutes et de secondes de degré ou de minutes et de secondes de temps. Dans l’écriture, on a fait aussi une confusion regrettable, en se servant indistinctement des mêmes signes ', ", pour désigner les minutes et secondes de temps et les minutes et secondes de degré. Cette confusion n’existe plus dans les ouvrages modernes, où les minutes et secondes de temps sont indiquées par les petites lettres m et s. Peut-être eût-on bien fait à l’origine de désigner par des noms dissemblables des choses essentiellement différentes ; mais les langues se sont formées avant que la science eût atteint sa perfection. J’indiquerai ici l’habitude plus vicieuse encore, et cependant généralement adoptée, de désigner par la même expression degré, les parties aliquotes de la division du cercle, les 360es de la circonférence et les 80es ou les 100es de l’étendue parcourue par la liqueur thermométrique entre le terme de la glace fondante et la température de l’ébullition de l’eau ; toute confusion entre ces espèces si différentes de degrés ne sera plus à craindre de la part de ceux à qui la possibilité de l’erreur a été une fois signalée. Les anciens regardaient le cercle comme la plus noble des courbes. C’était donc, d’après eux, suivant des cercles que devaient s’opérer tous les mouvements célestes. Cette conception malheureuse jeta les Grecs dans des systèmes d’une extrême complication, qui s’écroulèrent avec fracas et sans retour dès que l’astronomie se fut enrichie d’un certain nombre d’observations précises. Le cercle n’en joue pas moins un rôle très-important au milieu des combinaisons artificielles que l’intelligence humaine a dû créer pour ne pas se perdre au milieu du dédale de mouvements de toutes sortes que les astres éprouvent. Tout diamètre partage le cercle et sa circonférence en deux parties égales. Si une des extrémités du diamètre passe par le zéro de la division d’un cercle gradué, l’autre extrémité aboutira à 360°2360^2 ou au 180e degré. Si l’extrémité d’un diamètre passe par la division qui termine le 90e degré, l’autre extrémité aboutira au 270e puisque les deux extrémités d’un diamètre doivent toujours être éloignées de 180°, et ainsi de suite. C’est un principe important et dont les applications sont très-fécondes, que celui qu’on démontre dans tous les traités de géométrie et qui peut être énoncé ainsi : les circonférences de cercles sont proportionnelles à leurs rayons. Il faut comprendre par cet énoncé, que si après avoir enroulé un fil autour d’une circonférence de cercle d’un rayon égal à 1, le fil aurait le double de longueur si on l’enroulait sur une circonférence, de rayon double ; que la longueur du fil développée serait triple si le rayon était triple, et ainsi de suite. La proportion est vraie, non seulement quand il s’agit de rapports simples comme ceux que nous venons de citer, mais encore à l’égard de circonférences de cercle dont les rayons seraient entre eux dans un rapport quelconque. Ainsi, à des cercles successifs dont les rayons seraient 1,1+110e,1+1100e,1+11,000e,1,1+110^e,1+1100^e,1+11,000^e, etc., correspondraient des circonférences dont la seconde aurait 110e110^e de plus que la première, la troisième 1100e1100^e, la quatrième 11,000e11,000^e etc., toujours de plus que cette première d’un rayon égal à 1. Il faut mettre soigneusement ces résultats en réserve, car nous en ferons bientôt d’utiles applications. Supposons que d’un même point C comme centre (fig. 1), on décrive des circonférences de cercle avec des rayons différents CA, CB, CD, CE, ces circonférences de cercle seront dites concentriques. Admettons qu’une de ces circonférences, la plus petite de toutes, soit divisée en 360 parties égales ou en 360 degrés ; menons du centre commun de ces cercles à chacune des 360 divisions du plus petit, des rayons ; ces rayons prolongés jusqu’à la seconde, à la troisième, à la quatrième circonférence, les partageront en parties égales entre elles dans chaque circonférence, ou en degrés. Puisque les circonférences entières sont proportionnelles aux rayons, les 360es parties de ces circonférences ou leurs degrés seront dans le même rapport. Cela veut dire que le développement rectiligne de l’arc d’un degré pris sur une circonférence d’un rayon double, est double du développement rectiligne d’un degré pris sur une circonférence de rayon simple. De même, le développement rectiligne de l’arc d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1 étant donné, le développement rectiligne d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1+1100e1+1100^e, sera de 1100e1100^e plus grand, et ainsi de suite, quel que soit le rapport des rayons. Nous avons supposé les cercles concentriques afin que ces propositions diverses parussent évidentes d’elles mêmes, mais il est clair que ces propositions auraient la même vérité, quels que fussent les lieux où les cercles, satisfaisant aux conditions précédentes, seraient tracés. Seulement quand les cercles sont concentriques, il suffit que l’un d’entre eux, le plus petit par exemple, ait été exactement divisé en degrés pour qu’on puisse, en prolongeant les divers rayons jusqu’aux autres circonférences, les partager également en degrés. La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite. La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite. Cette coïncidence presque parfaite d’un arc de cercle et d’une ligne droite s’étend jusqu’à l’arc de 1°. La ligne droite qui coïncide ainsi sur une petite étendue avec un arc de cercle est appelée une tangente. L’astronome a souvent à résoudre ce problème : Étant donnée la circonférence d’un cercle, trouver le diamètre ; Et réciproquement, étant donné le diamètre, trouver la circonférence. On y arrive en divisant, dans le premier cas, la circonférence par un certain nombre toujours constant, quel que soit le cercle, et, dans le second cas, en multipliant le diamètre par ce même nombre. On comprend toute l’utilité de la détermination d’un pareil nombre. Puisque nous regardons comme établi que les circonférences du cercle sont mathématiquement entre elles comme leurs rayons, de sorte qu’à un rayon double correspond une circonférence de cercle double, à un rayon triple correspond une circonférence exactement triple, à un rayon décuple, une circonférence décuple et ainsi de suite, il résulte de cette proposition que si l’on connaissait le rapport du rayon, ou ce qui revient au même, de la longueur du diamètre à celle de la circonférence développée en ligne droite pour un cercle d’une étendue donnée, ce même rapport pourrait être appliqué à tout autre cercle d’un diamètre plus grand ou plus petit. Les praticiens ont pu déterminer le rapport du diamètre à la circonférence, ou inversement de la circonférence au diamètre, avec toute l’exactitude que les besoins des arts exigeaient, en comparant simplement la longueur développée d’un fil inextensible qui avait été enroulé sur une circonférence de cercle, à la longueur du diamètre ; mais il n’est resté aucune trace écrite de ces opérations en quelque sorte mécaniques. Archimède, qui vivait de 287 à 212 avant Jésus-Christ, est le plus ancien auteur dans lequel on rencontre une détermination obtenue par voie intellectuelle du rapport du diamètre à la circonférence. L’immortel géomètre de Syracuse trouva que si le diamètre d’un cercle est divisé en sept parties égales, vingt et une de ces parties forment une longueur plus petite et vingt-deux une longueur plus grande que la circonférence développée. Pierre Métius, qui vivait au milieu du XVIe siècle, le père d’un artiste qui éleva des prétentions sur l’invention des lunettes, donna les deux nombres cent treize et trois cent cinquante-cinq comme exprimant très-approximativement le rapport de la longueur du diamètre à celle de la circonférence. Lorsqu’on transforme ce rapport en décimales, on trouve un nombre qui ne s’écarte du rapport, donné plus tard plus exactement, que sur le huitième chiffre. Le rapport de cent treize à trois cent cinquante-cinq (113355)113355a la propriété, comme on l’a démontré depuis, d’être le plus exact de tous ceux qui pourraient être exprimés par un aussi petit nombre de chiffres. On ne sait pas le nom du savant ou de l’artiste qui imagina de donner pour moteur aux petites pendules et aux montres portatives, un ressort plié en spirale et enfermé dans un tambour ou barillet (fig. 21). Cette belle invention paraît avoir été faite à la fin du XVe siècle ou au commencement du XVIe. Derham dit avoir vu une montre qui avait appartenu à Henri VIII d’Angleterre, né en 1491, mort en 1547. Dès l’origine, le ressort spiral, moteur des horloges portatives, était, comme aujourd’hui, attaché par son extrémité extérieure au tambour tournant, et par son autre extrémité à l’arbre immobile formant l’axe de ce même tambour. Les montres qui existent encore, du temps des rois de France Charles IX et Henri III, présentent toutes cette disposition. Le ressort moteur perd de sa force à mesure qu’il se détend. Une montre ainsi construite, malgré l’action du balancier dont nous parlerons plus loin, doit aller vite quand elle vient d’être remontée, et retarder ensuite graduellement. Pour remédier à ce défaut, on imagina la fusée (fig. 22), une des plus belles inventions de l’esprit humain. L’inventeur de la fusée n’est pas connu. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. A mesure que le ressort est moins tendu, il agit sur la fusée à l’extrémité d’un plus grand bras de levier, de manière qu’il y a compensation. Puisque la fusée est dentée à sa base, puisqu’elle engrène directement avec le rouage, puisqu’elle le conduit, si sa tendance à tourner reste constante, l’ensemble du rouage tourne uniformément. Le pendule, dans sa plus grande simplicité, consiste dans un corps pesant A (fig. 23), de petite dimension, suspendu par un fil très-délié, mobile lui-même autour d’un point S, et tel qu’on peut écarter le corps A de sa position verticale pour l’amener à droite ou à gauche en B ou en C et l’abandonner ensuite à lui-même. Le jeune étudiant étant un jour nel Duomo di Pisa, se prit à observer les mouvements d’une lampe suspendue à une corde. Les montres qui existent encore, du temps des rois de France Charles IX et Henri III, présentent toutes cette disposition. Le ressort moteur perd de sa force à mesure qu’il se détend. Une montre ainsi construite, malgré l’action du balancier dont nous parlerons plus loin, doit aller vite quand elle vient d’être remontée, et retarder ensuite graduellement. Pour remédier à ce défaut, on imagina la fusée (fig. 22), une des plus belles inventions de l’esprit humain. L’inventeur de la fusée n’est pas connu. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. À mesure que le ressort est moins tendu, il agit sur la fusée à l’extrémité d’un plus grand bras de levier, de manière qu’il y a compensation. Puisque la fusée est dentée à sa base, puisqu’elle engrène directement avec le rouage, puisqu’elle le conduit, si sa tendance à tourner reste constante, l’ensemble du rouage tourne uniformément. Le pendule, dans sa plus grande simplicité, consiste dans un corps pesant A (fig. 23), de petite dimension, suspendu par un fil très-délié, mobile lui-même autour d’un point S, et tel qu’on peut écarter le corps A de sa position verticale pour l’amener à droite ou à gauche en B ou en C et l’abandonner ensuite à lui-même. On ne sait pas par quels procédés Métius obtint le rapport qui porte son nom. Dans les calculs destinés à déterminer plus exactement le rapport de la circonférence au diamètre, on s’est servi d’un principe qui peut être énoncé ainsi : la circonférence d’un cercle est plus grande que le contour de tout polygone inscrit, et plus petite que le contour du polygone circonscrit. Les contours de ces deux genres de polygones ADCDEF et PQRSTV (fig. 2) peuvent être calculés en parties du rayon OC du cercle circonscrit au polygone intérieur, et en parties de ce même rayon, qui est, pour l’autre polygone, celui du cercle inscrit GHKLMN. Lorsque dans le calcul des développements rectilignes de deux polygones d’un même nombre de côtés en parties du rayon du même cercle, on trouve les mêmes résultats jusqu’à la dixième décimale, par exemple, on peut être assuré d’avoir exactement, jusqu’à cette même décimale, le rapport de la circonférence au diamètre du cercle, puisque ce rapport, répétons-le, doit être intermédiaire entre le rapport que fournit le développement du polygone circonscrit et celui du polygone inscrit, ou en prenant les lettres de la figure, le rapport de la circonférence GHKLMN au rayon OC est plus petit que le rapport du polygone PQRST à ce rayon OC, et plus grand que le rapport du polygone ABCDEF, toujours au même rayon OC. C’est en partant de ce principe que Viete, qui vivait vers la fin du XVIe siècle, exprima le rapport du diamètre à la circonférence avec la précision de onze décimales. Cette exactitude fut bientôt dépassée par le résultat des recherches d’Adrianus Romanus. Ce calculateur belge eut la patience de déterminer les contours de deux polygones, l’un inscrit et l’autre circonscrit à un cercle, et composés chacun de 1 073 741 824 côtés. Les longueurs de ces deux polygones, évaluées en parties du rayon du cercle, avaient seize décimales communes ; dès lors le rapport du diamètre à la circonférence pouvait être donné jusqu’à la précision d’une unité sur la seizième décimale. Ludolph Van Ceulen, de Cologne, étendit la précision en suivant la même méthode jusqu’à la trente-sixième décimale. Par des moyens de calcul plus abrégés, plus simples, mais reposant aussi implicitement sur la proposition que la longueur de la circonférence du cercle est toujours intermédiaire entre les longueurs des contours des polygones inscrits et circonscrits, on est arrivé à des degrés d’approximation surpassant beaucoup tout ce qu’on avait obtenu antérieurement. Lagny, par exemple, prenant le diamètre du cercle comme unité, détermina la longueur de la circonférence jusqu’à la cent vingt-huitième décimale. Véga poussa l’approximation jusqu’à cent quarante et un chiffres. Dans un manuscrit conservé à la bibliothèque Ratcliffe, d’Oxford, on trouve, dit-on, le rapport exprimé jusqu’à cent cinquante-cinq décimales. Ces approximations n’ont aucune utilité pratique. Il n’est pas de cas dans les applications les plus abstruses de la science, où l’on soit obligé, à beaucoup près, d’aller aussi loin que les nombres de Lagny, de Véga et de la bibliothèque Ratcliffe permettraient de le faire. C’est ce que je vais démontrer, après avoir consigné ici le rapport en question, jusqu’à la cinquantième décimale. Le diamètre étant 1, la circonférence sera : Il faut bien comprendre qu’en se contentant pour le rapport d’un certain nombre de décimales, celle à laquelle on s’arrête est trop faible et qu’en l’augmentant d’une unité, elle serait trop forte. En sorte que dans tous les cas, on obtiendra deux limites de longueur entre lesquelles la véritable circonférence sera toujours contenue. Ainsi le diamètre, étant 1, le nombre 3.1 donnera une circonférence trop petite ; 3.2 donnerait une circonférence trop grande ; 3.14 donnerait un résultat trop faible, et 3.15 serait trop grand ; 3.141 donnerait une longueur de circonférence trop faible, mais 3.142 serait un résultat trop grand, et ainsi de suite. Cela posé, voyons avec quel degré d’approximation il serait possible de calculer, en s’aidant de tous ces chiffres, la circonférence d’un cercle ayant pour rayon la distance moyenne de la terre au soleil. Cette distance est de 38 millions de lieues, ou 152 billions de mètres ; le diamètre du cercle est donc de 304 billions de mètres. Quelle est l’étoile qui passe maintenant ? Les pléiades se montrent à l’Orient. L’aigle plane au sommet du ciel. Euripide vécut de 480 à 407 avant J.-C. Euclide dit, dans son livre des Phénomènes, que les parties visibles des parallèles parcourus par les étoiles boréales, sont d’autant plus grandes que les distances de ces étoiles au cercle arctique sont plus petites. « On en juge, ajoute-t-il, sur ce que le temps que ces astres passent sous l’horizon est plus ou moins différent de celui qu’ils passent au-dessus » (Delambre, Hist. anc., t. i, p. 52). Ce passage prouve que du temps d’Euclide, 300 ans avant notre ère, on avait des moyens de subdiviser le temps. Les clepsydres, suivant toute apparence, sont d’une date encore plus ancienne que les cadrans solaires. Les clepsydres sont des horloges à l’aide desquelles le temps se mesurait par des effets dépendants de l’écoulement de l’eau. Désirait-on régler la durée des discours que des orateurs, des avocats, devaient prononcer devant une assemblée du peuple, devant un tribunal, etc. ; on se servait de vases ayant des volumes déterminés et qui étaient remplis d’eau : le temps que le liquide mettait à s’écouler entièrement fixait la durée voulue. Plusieurs orateurs devaient-ils parler successivement, les autorité assignaient d’avance une clepsydre à chacun d’eux. De là les expressions : on en est encore à la première, à la seconde, à la troisième eau ; vous empiétez sur mon eau, etc. Il y a dans les discours de Démosthène, de Cicéron, des allusions à cette manière de fixer la durée des discours. Les préposés à l’observation des clepsydres favorisaient leurs amis et nuisaient à leurs adversaires, soit en altérant le diamètre de la petite ouverture par laquelle l’écoulement s’opérait, soit en changeant la capacité du vase renfermant le liquide à l’aide de masses de cire qu’ils fixaient subrepticement aux parois intérieures de ce vase, ou qu’ils enlevaient sans qu’on s’en aperçût. Dans certaines clepsydres, le temps était mesuré, non par l’écoulement total de l’eau, mais par le changement de son niveau. Dans d’autres, dans celles de Ctésibius, l’eau écoulée devenait une force motrice qui, par exemple,allant remplir successivement les divers augets d’une roue, produisait dans cette roue un mouvement de rotation, lequel se communiquait ensuite à un système de roues dentées (fig. 16 et 17). La force motrice résultait, dans d’autres horloges, du mouvement ascensionnel du liquide qui se déversait dans un verre fixe fermé. Un flotteur placé dans ce vase soulevait une crémaillère ; celle-ci, engrenant avec un pignon, faisait tourner un ensemble de roues dentées qui donnaient naissance à des effets très-variés.Ctésibius vivait vers le milieu du second siècle avant l’ère chrétienne.La machine que Scipion Nasica fit ériger, pendant qu’il était censeur, pour subdiviser la durée du jour, fonctionnait, d’après Pline et Censinorus, par l’intermédiaire d’un courant d’eau (Pline, liv. vii, chap. ix).C’était donc une clepsydre, et non un cadran solaire, comme on le suppose ordinairement.La clepsydre de Scipion Nasica était dans un lieu couvert. Pline en fixe l’exécution à l’an 595 de Rome (172 avant J.-C.). Aristote, 350 ans avant notre ère, parlait déjà de roues qui évidemment devaient être dentées ; en effet, dans ses Questions de mécanique (introduction, page 848, colonne A, ligne 18, édition de l’Académie de Berlin), on lit, d’après la traduction qu’a bien voulu me donner notre savant confrère de l’Institut, M. Barthélemy Saint-Hilaire : « D’après cette propriété qu’a le cercle de se mouvoir dans des sens contraires simultanément, c’est-à-dire que l’une des extrémités du diamètre représentée par A (fig. 18), par exemple, se meut en avant, tandis que l’autre représentée par B se meut en arrière, on a pu construire des appareils où par un mouvement unique se meuvent à la fois en sens contraire plusieurs cercles accouplés, comme ces petites roues en airain ou en fer que l’on consacre dans les temples. Soit, en effet, un cercle AB que touche un autre cercle CD. Si le diamètre du cercle AB se meut en avant, celui du cercle CD prendra son mouvement en arrière, le diamètre du cercle AB étant mû autour d’un même point. Le cercle CD marchera donc dans un sens contraire à celui du cercle AB.Tout le monde
Le langage des géomètres Tout le monde sait ce qu’on entend par une ligne droite et une ligne courbe. Ce n’est pas ici le lieu de rechercher si une ligne droite est convenablement définie lorsque l’on dit qu’elle est la plus courte qu’on puisse mener entre deux points donnés, ou la ligne qui ne peut prendre qu’une position entre ces deux points. Une ligne droite telle que l’imagination la conçoit, n’a de dimensions que dans un seul sens, qu’on appelle alors la longueur. L’extrémité d’une ligne droite se nomme un point. Un espace possédant deux dimensions à la fois, longueur et largeur, prend le nom de surface. Une surface peut être plane ou courbe. Elle est plane lorsqu’une ligne droite peut complétement s’y appliquer dans toutes les directions. La surface est courbe quand il s’y trouve des directions suivant lesquelles la ligne droite ne s’y applique pas entièrement. Un plan est complétement déterminé lorsqu’on connaît trois des points par lesquels il doit passer, pourvu que ces points ne soient pas en ligne droite ; en d’autres termes, il est déterminé lorsqu’on connaît deux lignes droites qu’il doit contenir. Une ligne courbe peut être plane ou à double courbure. Une ligne courbe est plane lorsqu’on peut concevoir un plan qui contienne toutes ses parties. Elle est à double courbure quand, semblable à une hélice, toutes ses parties ne peuvent pas être couchées sur un plan. On appelle polygone une figure terminée par des lignes droites qui prennent le nom de côtés du polygone. Une ligne courbe peut être assimilée à un polygone, pourvu qu’on suppose que les côtés de ce polygone soient d’une petitesse extrême, ou pour parler le langage des géomètres, soient infiniment petits. Le plus simple des polygones est le triangle ; il est formé par trois lignes passant deux à deux par trois points. Or, trois points étant nécessaires et suffisants pour déterminer un plan, un triangle rectiligne est nécessairement un plan. Lorsque les trois côtés d’un triangle rectiligne sont inégaux, on dit du triangle qu’il est scalène. Lorsque deux côtés sont égaux, on appelle le triangle isocèle. Le triangle dont les trois côtés sont égaux se nomme un triangle équilatéral. Le polygone terminé par quatre côtés est un quadrilatère ; parmi les quadrilatères on distingue le parallélogramme, le rectangle, le carré, le losange. Un cercle est une surface plane, susceptible dès lors d’être appliquée tout entière sur un plan. Elle est terminée par une courbe dont tous les points sont à la même distance d’un point intérieur qu’on appelle centre. Cette courbe terminatrice est ce qu’on appelle la circonférence du cercle. Une portion de cette courbe s’appelle un arc. La ligne qui va du centre à un point quelconque de la circonférence d’un cercle s’appelle rayon. Cette ligne prolongée jusqu’au point opposé de la circonférence prend le nom de diamètre. Un diamètre est donc égal à deux rayons. L’on a souvent à considérer, surtout en astronomie, non-seulement des cercles entiers, mais des portions de cercle qui ont reçu des noms particuliers. Le contour entier du cercle étant partagé en 360 parties égales, chacune de ces parties s’appelle un degré La considération des degrés pouvait suffire dans l’enfance de la science, mais à mesure que les observations se perfectionnèrent, on sentit le besoin de tenir compte de divisions plus petites que des degrés. Ces divisions furent appelées des minutes. Chaque degré en renferme 60. Lorsque, à l’aide des lunettes, on vint à pouvoir discerner des quantités plus petites que des minutes, on partagea chacune de ces divisions en 60 parties qui furent appelées des secondes. Le nombre total des divisions en secondes contenues dans la circonférence d’un cercle est égal au nombre 21 600 multiplié par 60 ou 1 296 000. Quelques auteurs supposent que chaque seconde est divisée en 60 parties, ce qui donne des tierces ; des soixantièmes de tierces seraient des quartes, et ainsi de suite. Mais les astronomes qui ne veulent pas que les résultats publiés par eux soient entachés d’une précision imaginaire, qui craignent d’être taxés de charlatanisme, ne font aucun usage ni des tierces ni des quartes. Ils s’arrêtent aux secondes, et, quand il y a lieu, aux fractions décimales de ces quantités déjà si petites. Les grandes divisions du cercle ou les degrés sont désignés par un petit zéro placé à droite et un peu en dessus du chiffre qui indique de combien de degrés on entend parler : ainsi 25° veut dire 25 degrés. Les minutes sont indiquées par un petit trait placé de même, et les secondes par deux traits semblables et contigus. Ainsi : 47° 28'37" doit être lu 47 degrés 28 minutes 37 secondes. Les termes de minutes et de secondes par lesquels on désigne des 60es et 3 600es de degrés ont l’inconvénient de s’appliquer aussi dans le langage commun à la mesure de certaines portions du temps ; le premier désignant un 60e d’heure et le second un 60e de minute. Il est rare, cependant, qu’il puisse en résulter une confusion véritable ; les termes des problèmes qu’on se propose de résoudre indiquant toujours suffisamment s’il est question d’espace ou de durée. Au reste, pour éviter toute méprise, on ne manque pas, quand il y a lieu, de dire si l’on parle de minutes et de secondes de degré ou de minutes et de secondes de temps. Dans l’écriture, on a fait aussi une confusion regrettable, en se servant indistinctement des mêmes signes ', ", pour désigner les minutes et secondes de temps et les minutes et secondes de degré. Cette confusion n’existe plus dans les ouvrages modernes, où les minutes et secondes de temps sont indiquées par les petites lettres m et s. Peut-être eût-on bien fait à l’origine de désigner par des noms dissemblables des choses essentiellement différentes ; mais les langues se sont formées avant que la science eût atteint sa perfection. J’indiquerai ici l’habitude plus vicieuse encore, et cependant généralement adoptée, de désigner par la même expression degré, les parties aliquotes de la division du cercle, les 360es de la circonférence et les 80es ou les 100es de l’étendue parcourue par la liqueur thermométrique entre le terme de la glace fondante et la température de l’ébullition de l’eau ; toute confusion entre ces espèces si différentes de degrés ne sera plus à craindre de la part de ceux à qui la possibilité de l’erreur a été une fois signalée. Les anciens regardaient le cercle comme la plus noble des courbes. C’était donc, d’après eux, suivant des cercles que devaient s’opérer tous les mouvements célestes. Cette conception malheureuse jeta les Grecs dans des systèmes d’une extrême complication, qui s’écroulèrent avec fracas et sans retour dès que l’astronomie se fut enrichie d’un certain nombre d’observations précises. Le cercle n’en joue pas moins un rôle très-important au milieu des combinaisons artificielles que l’intelligence humaine a dû créer pour ne pas se perdre au milieu du dédale de mouvements de toutes sortes que les astres éprouvent. Tout diamètre partage le cercle et sa circonférence en deux parties égales. Si une des extrémités du diamètre passe par le zéro de la division d’un cercle gradué, l’autre extrémité aboutira à 360°2360^2 ou au 180e degré. Si l’extrémité d’un diamètre passe par la division qui termine le 90e degré, l’autre extrémité aboutira au 270e puisque les deux extrémités d’un diamètre doivent toujours être éloignées de 180°, et ainsi de suite. C’est un principe important et dont les applications sont très-fécondes, que celui qu’on démontre dans tous les traités de géométrie et qui peut être énoncé ainsi : les circonférences de cercles sont proportionnelles à leurs rayons. Il faut comprendre par cet énoncé, que si après avoir enroulé un fil autour d’une circonférence de cercle d’un rayon égal à 1, le fil aurait le double de longueur si on l’enroulait sur une circonférence, de rayon double ; que la longueur du fil développée serait triple si le rayon était triple, et ainsi de suite. La proportion est vraie, non seulement quand il s’agit de rapports simples comme ceux que nous venons de citer, mais encore à l’égard de circonférences de cercle dont les rayons seraient entre eux dans un rapport quelconque. Ainsi, à des cercles successifs dont les rayons seraient 1,1+110e,1+1100e,1+11,000e,1,1+110^e,1+1100^e,1+11,000^e, etc., correspondraient des circonférences dont la seconde aurait 110e110^e de plus que la première, la troisième 1100e1100^e, la quatrième 11,000e11,000^e etc., toujours de plus que cette première d’un rayon égal à 1. Il faut mettre soigneusement ces résultats en réserve, car nous en ferons bientôt d’utiles applications. Supposons que d’un même point C comme centre (fig. 1), on décrive des circonférences de cercle avec des rayons différents CA, CB, CD, CE, ces circonférences de cercle seront dites concentriques. Admettons qu’une de ces circonférences, la plus petite de toutes, soit divisée en 360 parties égales ou en 360 degrés ; menons du centre commun de ces cercles à chacune des 360 divisions du plus petit, des rayons ; ces rayons prolongés jusqu’à la seconde, à la troisième, à la quatrième circonférence, les partageront en parties égales entre elles dans chaque circonférence, ou en degrés. Puisque les circonférences entières sont proportionnelles aux rayons, les 360es parties de ces circonférences ou leurs degrés seront dans le même rapport. Cela veut dire que le développement rectiligne de l’arc d’un degré pris sur une circonférence d’un rayon double, est double du développement rectiligne d’un degré pris sur une circonférence de rayon simple. De même, le développement rectiligne de l’arc d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1 étant donné, le développement rectiligne d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1+1100e1+1100^e, sera de 1100e1100^e plus grand, et ainsi de suite, quel que soit le rapport des rayons. Nous avons supposé les cercles concentriques afin que ces propositions diverses parussent évidentes d’elles mêmes, mais il est clair que ces propositions auraient la même vérité, quels que fussent les lieux où les cercles, satisfaisant aux conditions précédentes, seraient tracés. Seulement quand les cercles sont concentriques, il suffit que l’un d’entre eux, le plus petit par exemple, ait été exactement divisé en degrés pour qu’on puisse, en prolongeant les divers rayons jusqu’aux autres circonférences, les partager également en degrés. La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite. La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite. Cette coïncidence presque parfaite d’un arc de cercle et d’une ligne droite s’étend jusqu’à l’arc de 1°. La ligne droite qui coïncide ainsi sur une petite étendue avec un arc de cercle est appelée une tangente. L’astronome a souvent à résoudre ce problème : Étant donnée la circonférence d’un cercle, trouver le diamètre ; Et réciproquement, étant donné le diamètre, trouver la circonférence. On y arrive en divisant, dans le premier cas, la circonférence par un certain nombre toujours constant, quel que soit le cercle, et, dans le second cas, en multipliant le diamètre par ce même nombre. On comprend toute l’utilité de la détermination d’un pareil nombre. Puisque nous regardons comme établi que les circonférences du cercle sont mathématiquement entre elles comme leurs rayons, de sorte qu’à un rayon double correspond une circonférence de cercle double, à un rayon triple correspond une circonférence exactement triple, à un rayon décuple, une circonférence décuple et ainsi de suite, il résulte de cette proposition que si l’on connaissait le rapport du rayon, ou ce qui revient au même, de la longueur du diamètre à celle de la circonférence développée en ligne droite pour un cercle d’une étendue donnée, ce même rapport pourrait être appliqué à tout autre cercle d’un diamètre plus grand ou plus petit. Les praticiens ont pu déterminer le rapport du diamètre à la circonférence, ou inversement de la circonférence au diamètre, avec toute l’exactitude que les besoins des arts exigeaient, en comparant simplement la longueur développée d’un fil inextensible qui avait été enroulé sur une circonférence de cercle, à la longueur du diamètre ; mais il n’est resté aucune trace écrite de ces opérations en quelque sorte mécaniques. Archimède, qui vivait de 287 à 212 avant Jésus-Christ, est le plus ancien auteur dans lequel on rencontre une détermination obtenue par voie intellectuelle du rapport du diamètre à la circonférence. L’immortel géomètre de Syracuse trouva que si le diamètre d’un cercle est divisé en sept parties égales, vingt et une de ces parties forment une longueur plus petite et vingt-deux une longueur plus grande que la circonférence développée. Pierre Métius, qui vivait au milieu du XVIe siècle, le père d’un artiste qui éleva des prétentions sur l’invention des lunettes, donna les deux nombres cent treize et trois cent cinquante-cinq comme exprimant très-approximativement le rapport de la longueur du diamètre à celle de la circonférence. Lorsqu’on transforme ce rapport en décimales, on trouve un nombre qui ne s’écarte du rapport, donné plus tard plus exactement, que sur le huitième chiffre. Le rapport de cent treize à trois cent cinquante-cinq (113355)113355a la propriété, comme on l’a démontré depuis, d’être le plus exact de tous ceux qui pourraient être exprimés par un aussi petit nombre de chiffres. On ne sait pas le nom du savant ou de l’artiste qui imagina de donner pour moteur aux petites pendules et aux montres portatives, un ressort plié en spirale et enfermé dans un tambour ou barillet (fig. 21). Cette belle invention paraît avoir été faite à la fin du XVe siècle ou au commencement du XVIe. Derham dit avoir vu une montre qui avait appartenu à Henri VIII d’Angleterre, né en 1491, mort en 1547. Dès l’origine, le ressort spiral, moteur des horloges portatives, était, comme aujourd’hui, attaché par son extrémité extérieure au tambour tournant, et par son autre extrémité à l’arbre immobile formant l’axe de ce même tambour. Les montres qui existent encore, du temps des rois de France Charles IX et Henri III, présentent toutes cette disposition. Le ressort moteur perd de sa force à mesure qu’il se détend. Une montre ainsi construite, malgré l’action du balancier dont nous parlerons plus loin, doit aller vite quand elle vient d’être remontée, et retarder ensuite graduellement. Pour remédier à ce défaut, on imagina la fusée (fig. 22), une des plus belles inventions de l’esprit humain. L’inventeur de la fusée n’est pas connu. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. A mesure que le ressort est moins tendu, il agit sur la fusée à l’extrémité d’un plus grand bras de levier, de manière qu’il y a compensation. Puisque la fusée est dentée à sa base, puisqu’elle engrène directement avec le rouage, puisqu’elle le conduit, si sa tendance à tourner reste constante, l’ensemble du rouage tourne uniformément. Le pendule, dans sa plus grande simplicité, consiste dans un corps pesant A (fig. 23), de petite dimension, suspendu par un fil très-délié, mobile lui-même autour d’un point S, et tel qu’on peut écarter le corps A de sa position verticale pour l’amener à droite ou à gauche en B ou en C et l’abandonner ensuite à lui-même. Le jeune étudiant étant un jour nel Duomo di Pisa, se prit à observer les mouvements d’une lampe suspendue à une corde. Les montres qui existent encore, du temps des rois de France Charles IX et Henri III, présentent toutes cette disposition. Le ressort moteur perd de sa force à mesure qu’il se détend. Une montre ainsi construite, malgré l’action du balancier dont nous parlerons plus loin, doit aller vite quand elle vient d’être remontée, et retarder ensuite graduellement. Pour remédier à ce défaut, on imagina la fusée (fig. 22), une des plus belles inventions de l’esprit humain. L’inventeur de la fusée n’est pas connu. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. À mesure que le ressort est moins tendu, il agit sur la fusée à l’extrémité d’un plus grand bras de levier, de manière qu’il y a compensation. Puisque la fusée est dentée à sa base, puisqu’elle engrène directement avec le rouage, puisqu’elle le conduit, si sa tendance à tourner reste constante, l’ensemble du rouage tourne uniformément. Le pendule, dans sa plus grande simplicité, consiste dans un corps pesant A (fig. 23), de petite dimension, suspendu par un fil très-délié, mobile lui-même autour d’un point S, et tel qu’on peut écarter le corps A de sa position verticale pour l’amener à droite ou à gauche en B ou en C et l’abandonner ensuite à lui-même. On ne sait pas par quels procédés Métius obtint le rapport qui porte son nom. Dans les calculs destinés à déterminer plus exactement le rapport de la circonférence au diamètre, on s’est servi d’un principe qui peut être énoncé ainsi : la circonférence d’un cercle est plus grande que le contour de tout polygone inscrit, et plus petite que le contour du polygone circonscrit. Les contours de ces deux genres de polygones ADCDEF et PQRSTV (fig. 2) peuvent être calculés en parties du rayon OC du cercle circonscrit au polygone intérieur, et en parties de ce même rayon, qui est, pour l’autre polygone, celui du cercle inscrit GHKLMN. Lorsque dans le calcul des développements rectilignes de deux polygones d’un même nombre de côtés en parties du rayon du même cercle, on trouve les mêmes résultats jusqu’à la dixième décimale, par exemple, on peut être assuré d’avoir exactement, jusqu’à cette même décimale, le rapport de la circonférence au diamètre du cercle, puisque ce rapport, répétons-le, doit être intermédiaire entre le rapport que fournit le développement du polygone circonscrit et celui du polygone inscrit, ou en prenant les lettres de la figure, le rapport de la circonférence GHKLMN au rayon OC est plus petit que le rapport du polygone PQRST à ce rayon OC, et plus grand que le rapport du polygone ABCDEF, toujours au même rayon OC. C’est en partant de ce principe que Viete, qui vivait vers la fin du XVIe siècle, exprima le rapport du diamètre à la circonférence avec la précision de onze décimales. Cette exactitude fut bientôt dépassée par le résultat des recherches d’Adrianus Romanus. Ce calculateur belge eut la patience de déterminer les contours de deux polygones, l’un inscrit et l’autre circonscrit à un cercle, et composés chacun de 1 073 741 824 côtés. Les longueurs de ces deux polygones, évaluées en parties du rayon du cercle, avaient seize décimales communes ; dès lors le rapport du diamètre à la circonférence pouvait être donné jusqu’à la précision d’une unité sur la seizième décimale. Ludolph Van Ceulen, de Cologne, étendit la précision en suivant la même méthode jusqu’à la trente-sixième décimale. Par des moyens de calcul plus abrégés, plus simples, mais reposant aussi implicitement sur la proposition que la longueur de la circonférence du cercle est toujours intermédiaire entre les longueurs des contours des polygones inscrits et circonscrits, on est arrivé à des degrés d’approximation surpassant beaucoup tout ce qu’on avait obtenu antérieurement. Lagny, par exemple, prenant le diamètre du cercle comme unité, détermina la longueur de la circonférence jusqu’à la cent vingt-huitième décimale. Véga poussa l’approximation jusqu’à cent quarante et un chiffres. Dans un manuscrit conservé à la bibliothèque Ratcliffe, d’Oxford, on trouve, dit-on, le rapport exprimé jusqu’à cent cinquante-cinq décimales. Ces approximations n’ont aucune utilité pratique. Il n’est pas de cas dans les applications les plus abstruses de la science, où l’on soit obligé, à beaucoup près, d’aller aussi loin que les nombres de Lagny, de Véga et de la bibliothèque Ratcliffe permettraient de le faire. C’est ce que je vais démontrer, après avoir consigné ici le rapport en question, jusqu’à la cinquantième décimale. Le diamètre étant 1, la circonférence sera : Il faut bien comprendre qu’en se contentant pour le rapport d’un certain nombre de décimales, celle à laquelle on s’arrête est trop faible et qu’en l’augmentant d’une unité, elle serait trop forte. En sorte que dans tous les cas, on obtiendra deux limites de longueur entre lesquelles la véritable circonférence sera toujours contenue. Ainsi le diamètre, étant 1, le nombre 3.1 donnera une circonférence trop petite ; 3.2 donnerait une circonférence trop grande ; 3.14 donnerait un résultat trop faible, et 3.15 serait trop grand ; 3.141 donnerait une longueur de circonférence trop faible, mais 3.142 serait un résultat trop grand, et ainsi de suite. Cela posé, voyons avec quel degré d’approximation il serait possible de calculer, en s’aidant de tous ces chiffres, la circonférence d’un cercle ayant pour rayon la distance moyenne de la terre au soleil. Cette distance est de 38 millions de lieues, ou 152 billions de mètres ; le diamètre du cercle est donc de 304 billions de mètres. Quelle est l’étoile qui passe maintenant ? Les pléiades se montrent à l’Orient. L’aigle plane au sommet du ciel. Euripide vécut de 480 à 407 avant J.-C. Euclide dit, dans son livre des Phénomènes, que les parties visibles des parallèles parcourus par les étoiles boréales, sont d’autant plus grandes que les distances de ces étoiles au cercle arctique sont plus petites. « On en juge, ajoute-t-il, sur ce que le temps que ces astres passent sous l’horizon est plus ou moins différent de celui qu’ils passent au-dessus » (Delambre, Hist. anc., t. i, p. 52). Ce passage prouve que du temps d’Euclide, 300 ans avant notre ère, on avait des moyens de subdiviser le temps. Les clepsydres, suivant toute apparence, sont d’une date encore plus ancienne que les cadrans solaires. Les clepsydres sont des horloges à l’aide desquelles le temps se mesurait par des effets dépendants de l’écoulement de l’eau. Désirait-on régler la durée des discours que des orateurs, des avocats, devaient prononcer devant une assemblée du peuple, devant un tribunal, etc. ; on se servait de vases ayant des volumes déterminés et qui étaient remplis d’eau : le temps que le liquide mettait à s’écouler entièrement fixait la durée voulue. Plusieurs orateurs devaient-ils parler successivement, les autorité assignaient d’avance une clepsydre à chacun d’eux. De là les expressions : on en est encore à la première, à la seconde, à la troisième eau ; vous empiétez sur mon eau, etc. Il y a dans les discours de Démosthène, de Cicéron, des allusions à cette manière de fixer la durée des discours. Les préposés à l’observation des clepsydres favorisaient leurs amis et nuisaient à leurs adversaires, soit en altérant le diamètre de la petite ouverture par laquelle l’écoulement s’opérait, soit en changeant la capacité du vase renfermant le liquide à l’aide de masses de cire qu’ils fixaient subrepticement aux parois intérieures de ce vase, ou qu’ils enlevaient sans qu’on s’en aperçût. Dans certaines clepsydres, le temps était mesuré, non par l’écoulement total de l’eau, mais par le changement de son niveau. Dans d’autres, dans celles de Ctésibius, l’eau écoulée devenait une force motrice qui, par exemple,allant remplir successivement les divers augets d’une roue, produisait dans cette roue un mouvement de rotation, lequel se communiquait ensuite à un système de roues dentées (fig. 16 et 17). La force motrice résultait, dans d’autres horloges, du mouvement ascensionnel du liquide qui se déversait dans un verre fixe fermé. Un flotteur placé dans ce vase soulevait une crémaillère ; celle-ci, engrenant avec un pignon, faisait tourner un ensemble de roues dentées qui donnaient naissance à des effets très-variés.Ctésibius vivait vers le milieu du second siècle avant l’ère chrétienne.La machine que Scipion Nasica fit ériger, pendant qu’il était censeur, pour subdiviser la durée du jour, fonctionnait, d’après Pline et Censinorus, par l’intermédiaire d’un courant d’eau (Pline, liv. vii, chap. ix).C’était donc une clepsydre, et non un cadran solaire, comme on le suppose ordinairement.La clepsydre de Scipion Nasica était dans un lieu couvert. Pline en fixe l’exécution à l’an 595 de Rome (172 avant J.-C.). Aristote, 350 ans avant notre ère, parlait déjà de roues qui évidemment devaient être dentées ; en effet, dans ses Questions de mécanique (introduction, page 848, colonne A, ligne 18, édition de l’Académie de Berlin), on lit, d’après la traduction qu’a bien voulu me donner notre savant confrère de l’Institut, M. Barthélemy Saint-Hilaire : « D’après cette propriété qu’a le cercle de se mouvoir dans des sens contraires simultanément, c’est-à-dire que l’une des extrémités du diamètre représentée par A (fig. 18), par exemple, se meut en avant, tandis que l’autre représentée par B se meut en arrière, on a pu construire des appareils où par un mouvement unique se meuvent à la fois en sens contraire plusieurs cercles accouplés, comme ces petites roues en airain ou en fer que l’on consacre dans les temples. Soit, en effet, un cercle AB que touche un autre cercle CD. Si le diamètre du cercle AB se meut en avant, celui du cercle CD prendra son mouvement en arrière, le diamètre du cercle AB étant mû autour d’un même point. Le cercle CD marchera donc dans un sens contraire à celui du cercle AB.Le langage des géomètres
Tout le monde Tout le monde sait ce qu’on entend par une ligne droite et une ligne courbe. Ce n’est pas ici le lieu de rechercher si une ligne droite est convenablement définie lorsque l’on dit qu’elle est la plus courte qu’on puisse mener entre deux points donnés, ou la ligne qui ne peut prendre qu’une position entre ces deux points. Une ligne droite telle que l’imagination la conçoit, n’a de dimensions que dans un seul sens, qu’on appelle alors la longueur. L’extrémité d’une ligne droite se nomme un point. Un espace possédant deux dimensions à la fois, longueur et largeur, prend le nom de surface. Une surface peut être plane ou courbe. Elle est plane lorsqu’une ligne droite peut complétement s’y appliquer dans toutes les directions. La surface est courbe quand il s’y trouve des directions suivant lesquelles la ligne droite ne s’y applique pas entièrement. Un plan est complétement déterminé lorsqu’on connaît trois des points par lesquels il doit passer, pourvu que ces points ne soient pas en ligne droite ; en d’autres termes, il est déterminé lorsqu’on connaît deux lignes droites qu’il doit contenir. Une ligne courbe peut être plane ou à double courbure. Une ligne courbe est plane lorsqu’on peut concevoir un plan qui contienne toutes ses parties. Elle est à double courbure quand, semblable à une hélice, toutes ses parties ne peuvent pas être couchées sur un plan. On appelle polygone une figure terminée par des lignes droites qui prennent le nom de côtés du polygone. Une ligne courbe peut être assimilée à un polygone, pourvu qu’on suppose que les côtés de ce polygone soient d’une petitesse extrême, ou pour parler le langage des géomètres, soient infiniment petits. Le plus simple des polygones est le triangle ; il est formé par trois lignes passant deux à deux par trois points. Or, trois points étant nécessaires et suffisants pour déterminer un plan, un triangle rectiligne est nécessairement un plan. Lorsque les trois côtés d’un triangle rectiligne sont inégaux, on dit du triangle qu’il est scalène. Lorsque deux côtés sont égaux, on appelle le triangle isocèle. Le triangle dont les trois côtés sont égaux se nomme un triangle équilatéral. Le polygone terminé par quatre côtés est un quadrilatère ; parmi les quadrilatères on distingue le parallélogramme, le rectangle, le carré, le losange. Un cercle est une surface plane, susceptible dès lors d’être appliquée tout entière sur un plan. Elle est terminée par une courbe dont tous les points sont à la même distance d’un point intérieur qu’on appelle centre. Cette courbe terminatrice est ce qu’on appelle la circonférence du cercle. Une portion de cette courbe s’appelle un arc. La ligne qui va du centre à un point quelconque de la circonférence d’un cercle s’appelle rayon. Cette ligne prolongée jusqu’au point opposé de la circonférence prend le nom de diamètre. Un diamètre est donc égal à deux rayons. L’on a souvent à considérer, surtout en astronomie, non-seulement des cercles entiers, mais des portions de cercle qui ont reçu des noms particuliers. Le contour entier du cercle étant partagé en 360 parties égales, chacune de ces parties s’appelle un degré La considération des degrés pouvait suffire dans l’enfance de la science, mais à mesure que les observations se perfectionnèrent, on sentit le besoin de tenir compte de divisions plus petites que des degrés. Ces divisions furent appelées des minutes. Chaque degré en renferme 60. Lorsque, à l’aide des lunettes, on vint à pouvoir discerner des quantités plus petites que des minutes, on partagea chacune de ces divisions en 60 parties qui furent appelées des secondes. Le nombre total des divisions en secondes contenues dans la circonférence d’un cercle est égal au nombre 21 600 multiplié par 60 ou 1 296 000. Quelques auteurs supposent que chaque seconde est divisée en 60 parties, ce qui donne des tierces ; des soixantièmes de tierces seraient des quartes, et ainsi de suite. Mais les astronomes qui ne veulent pas que les résultats publiés par eux soient entachés d’une précision imaginaire, qui craignent d’être taxés de charlatanisme, ne font aucun usage ni des tierces ni des quartes. Ils s’arrêtent aux secondes, et, quand il y a lieu, aux fractions décimales de ces quantités déjà si petites. Les grandes divisions du cercle ou les degrés sont désignés par un petit zéro placé à droite et un peu en dessus du chiffre qui indique de combien de degrés on entend parler : ainsi 25° veut dire 25 degrés. Les minutes sont indiquées par un petit trait placé de même, et les secondes par deux traits semblables et contigus. Ainsi : 47° 28'37" doit être lu 47 degrés 28 minutes 37 secondes. Les termes de minutes et de secondes par lesquels on désigne des 60es et 3 600es de degrés ont l’inconvénient de s’appliquer aussi dans le langage commun à la mesure de certaines portions du temps ; le premier désignant un 60e d’heure et le second un 60e de minute. Il est rare, cependant, qu’il puisse en résulter une confusion véritable ; les termes des problèmes qu’on se propose de résoudre indiquant toujours suffisamment s’il est question d’espace ou de durée. Au reste, pour éviter toute méprise, on ne manque pas, quand il y a lieu, de dire si l’on parle de minutes et de secondes de degré ou de minutes et de secondes de temps. Dans l’écriture, on a fait aussi une confusion regrettable, en se servant indistinctement des mêmes signes ', ", pour désigner les minutes et secondes de temps et les minutes et secondes de degré. Cette confusion n’existe plus dans les ouvrages modernes, où les minutes et secondes de temps sont indiquées par les petites lettres m et s. Peut-être eût-on bien fait à l’origine de désigner par des noms dissemblables des choses essentiellement différentes ; mais les langues se sont formées avant que la science eût atteint sa perfection. J’indiquerai ici l’habitude plus vicieuse encore, et cependant généralement adoptée, de désigner par la même expression degré, les parties aliquotes de la division du cercle, les 360es de la circonférence et les 80es ou les 100es de l’étendue parcourue par la liqueur thermométrique entre le terme de la glace fondante et la température de l’ébullition de l’eau ; toute confusion entre ces espèces si différentes de degrés ne sera plus à craindre de la part de ceux à qui la possibilité de l’erreur a été une fois signalée. Les anciens regardaient le cercle comme la plus noble des courbes. C’était donc, d’après eux, suivant des cercles que devaient s’opérer tous les mouvements célestes. Cette conception malheureuse jeta les Grecs dans des systèmes d’une extrême complication, qui s’écroulèrent avec fracas et sans retour dès que l’astronomie se fut enrichie d’un certain nombre d’observations précises. Le cercle n’en joue pas moins un rôle très-important au milieu des combinaisons artificielles que l’intelligence humaine a dû créer pour ne pas se perdre au milieu du dédale de mouvements de toutes sortes que les astres éprouvent. Tout diamètre partage le cercle et sa circonférence en deux parties égales. Si une des extrémités du diamètre passe par le zéro de la division d’un cercle gradué, l’autre extrémité aboutira à 360°2360^2 ou au 180e degré. Si l’extrémité d’un diamètre passe par la division qui termine le 90e degré, l’autre extrémité aboutira au 270e puisque les deux extrémités d’un diamètre doivent toujours être éloignées de 180°, et ainsi de suite. C’est un principe important et dont les applications sont très-fécondes, que celui qu’on démontre dans tous les traités de géométrie et qui peut être énoncé ainsi : les circonférences de cercles sont proportionnelles à leurs rayons. Il faut comprendre par cet énoncé, que si après avoir enroulé un fil autour d’une circonférence de cercle d’un rayon égal à 1, le fil aurait le double de longueur si on l’enroulait sur une circonférence, de rayon double ; que la longueur du fil développée serait triple si le rayon était triple, et ainsi de suite. La proportion est vraie, non seulement quand il s’agit de rapports simples comme ceux que nous venons de citer, mais encore à l’égard de circonférences de cercle dont les rayons seraient entre eux dans un rapport quelconque. Ainsi, à des cercles successifs dont les rayons seraient 1,1+110e,1+1100e,1+11,000e,1,1+110^e,1+1100^e,1+11,000^e, etc., correspondraient des circonférences dont la seconde aurait 110e110^e de plus que la première, la troisième 1100e1100^e, la quatrième 11,000e11,000^e etc., toujours de plus que cette première d’un rayon égal à 1. Il faut mettre soigneusement ces résultats en réserve, car nous en ferons bientôt d’utiles applications. Supposons que d’un même point C comme centre (fig. 1), on décrive des circonférences de cercle avec des rayons différents CA, CB, CD, CE, ces circonférences de cercle seront dites concentriques. Admettons qu’une de ces circonférences, la plus petite de toutes, soit divisée en 360 parties égales ou en 360 degrés ; menons du centre commun de ces cercles à chacune des 360 divisions du plus petit, des rayons ; ces rayons prolongés jusqu’à la seconde, à la troisième, à la quatrième circonférence, les partageront en parties égales entre elles dans chaque circonférence, ou en degrés. Puisque les circonférences entières sont proportionnelles aux rayons, les 360es parties de ces circonférences ou leurs degrés seront dans le même rapport. Cela veut dire que le développement rectiligne de l’arc d’un degré pris sur une circonférence d’un rayon double, est double du développement rectiligne d’un degré pris sur une circonférence de rayon simple. De même, le développement rectiligne de l’arc d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1 étant donné, le développement rectiligne d’un degré sur un cercle d’un rayon égal à 1+1100e1+1100^e, sera de 1100e1100^e plus grand, et ainsi de suite, quel que soit le rapport des rayons. Nous avons supposé les cercles concentriques afin que ces propositions diverses parussent évidentes d’elles mêmes, mais il est clair que ces propositions auraient la même vérité, quels que fussent les lieux où les cercles, satisfaisant aux conditions précédentes, seraient tracés. Seulement quand les cercles sont concentriques, il suffit que l’un d’entre eux, le plus petit par exemple, ait été exactement divisé en degrés pour qu’on puisse, en prolongeant les divers rayons jusqu’aux autres circonférences, les partager également en degrés. La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite. La courbure du cercle ne commence à se manifester, à devenir sensible, que sur des arcs d’une certaine étendue. Prenez un petit arc, un arc de quelques minutes, et, à plus forte raison un arc de quelques secondes seulement ; dans toute leur étendue ils se confondront presque exactement avec une ligne droite. Cette coïncidence presque parfaite d’un arc de cercle et d’une ligne droite s’étend jusqu’à l’arc de 1°. La ligne droite qui coïncide ainsi sur une petite étendue avec un arc de cercle est appelée une tangente. L’astronome a souvent à résoudre ce problème : Étant donnée la circonférence d’un cercle, trouver le diamètre ; Et réciproquement, étant donné le diamètre, trouver la circonférence. On y arrive en divisant, dans le premier cas, la circonférence par un certain nombre toujours constant, quel que soit le cercle, et, dans le second cas, en multipliant le diamètre par ce même nombre. On comprend toute l’utilité de la détermination d’un pareil nombre. Puisque nous regardons comme établi que les circonférences du cercle sont mathématiquement entre elles comme leurs rayons, de sorte qu’à un rayon double correspond une circonférence de cercle double, à un rayon triple correspond une circonférence exactement triple, à un rayon décuple, une circonférence décuple et ainsi de suite, il résulte de cette proposition que si l’on connaissait le rapport du rayon, ou ce qui revient au même, de la longueur du diamètre à celle de la circonférence développée en ligne droite pour un cercle d’une étendue donnée, ce même rapport pourrait être appliqué à tout autre cercle d’un diamètre plus grand ou plus petit. Les praticiens ont pu déterminer le rapport du diamètre à la circonférence, ou inversement de la circonférence au diamètre, avec toute l’exactitude que les besoins des arts exigeaient, en comparant simplement la longueur développée d’un fil inextensible qui avait été enroulé sur une circonférence de cercle, à la longueur du diamètre ; mais il n’est resté aucune trace écrite de ces opérations en quelque sorte mécaniques. Archimède, qui vivait de 287 à 212 avant Jésus-Christ, est le plus ancien auteur dans lequel on rencontre une détermination obtenue par voie intellectuelle du rapport du diamètre à la circonférence. L’immortel géomètre de Syracuse trouva que si le diamètre d’un cercle est divisé en sept parties égales, vingt et une de ces parties forment une longueur plus petite et vingt-deux une longueur plus grande que la circonférence développée. Pierre Métius, qui vivait au milieu du XVIe siècle, le père d’un artiste qui éleva des prétentions sur l’invention des lunettes, donna les deux nombres cent treize et trois cent cinquante-cinq comme exprimant très-approximativement le rapport de la longueur du diamètre à celle de la circonférence. Lorsqu’on transforme ce rapport en décimales, on trouve un nombre qui ne s’écarte du rapport, donné plus tard plus exactement, que sur le huitième chiffre. Le rapport de cent treize à trois cent cinquante-cinq (113355)113355a la propriété, comme on l’a démontré depuis, d’être le plus exact de tous ceux qui pourraient être exprimés par un aussi petit nombre de chiffres. On ne sait pas le nom du savant ou de l’artiste qui imagina de donner pour moteur aux petites pendules et aux montres portatives, un ressort plié en spirale et enfermé dans un tambour ou barillet (fig. 21). Cette belle invention paraît avoir été faite à la fin du XVe siècle ou au commencement du XVIe. Derham dit avoir vu une montre qui avait appartenu à Henri VIII d’Angleterre, né en 1491, mort en 1547. Dès l’origine, le ressort spiral, moteur des horloges portatives, était, comme aujourd’hui, attaché par son extrémité extérieure au tambour tournant, et par son autre extrémité à l’arbre immobile formant l’axe de ce même tambour. Les montres qui existent encore, du temps des rois de France Charles IX et Henri III, présentent toutes cette disposition. Le ressort moteur perd de sa force à mesure qu’il se détend. Une montre ainsi construite, malgré l’action du balancier dont nous parlerons plus loin, doit aller vite quand elle vient d’être remontée, et retarder ensuite graduellement. Pour remédier à ce défaut, on imagina la fusée (fig. 22), une des plus belles inventions de l’esprit humain. L’inventeur de la fusée n’est pas connu. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. A mesure que le ressort est moins tendu, il agit sur la fusée à l’extrémité d’un plus grand bras de levier, de manière qu’il y a compensation. Puisque la fusée est dentée à sa base, puisqu’elle engrène directement avec le rouage, puisqu’elle le conduit, si sa tendance à tourner reste constante, l’ensemble du rouage tourne uniformément. Le pendule, dans sa plus grande simplicité, consiste dans un corps pesant A (fig. 23), de petite dimension, suspendu par un fil très-délié, mobile lui-même autour d’un point S, et tel qu’on peut écarter le corps A de sa position verticale pour l’amener à droite ou à gauche en B ou en C et l’abandonner ensuite à lui-même. Le jeune étudiant étant un jour nel Duomo di Pisa, se prit à observer les mouvements d’une lampe suspendue à une corde. Les montres qui existent encore, du temps des rois de France Charles IX et Henri III, présentent toutes cette disposition. Le ressort moteur perd de sa force à mesure qu’il se détend. Une montre ainsi construite, malgré l’action du balancier dont nous parlerons plus loin, doit aller vite quand elle vient d’être remontée, et retarder ensuite graduellement. Pour remédier à ce défaut, on imagina la fusée (fig. 22), une des plus belles inventions de l’esprit humain. L’inventeur de la fusée n’est pas connu. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Quand on veut bien comprendre l’effet de ce mécanisme, il faut remarquer que, dans les montres sans fusée, la base du barillet est dentée (fig. 21) et qu’elle engrène immédiatement avec un des rouages de la montre. Lorsqu’on a recours à la fusée, la base du barillet n’est plus dentée. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. Cette pièce communique alors avec la fusée par l’intermédiaire d’une corde à boyau ou d’une chaîne articulée qui, au moment où la montre vient d’être montée, se trouve enroulée, presque tout entière, dans la rainure en forme d’hélice tracée sur la surface extérieure et conique de la fusée. Le ressort ayant alors sa plus grande tension enroule la chaîne sur la surface cylindrique du barillet (fig. 22), et entraîne la fusée par sa plus petite circonférence. À mesure que le ressort est moins tendu, il agit sur la fusée à l’extrémité d’un plus grand bras de levier, de manière qu’il y a compensation. Puisque la fusée est dentée à sa base, puisqu’elle engrène directement avec le rouage, puisqu’elle le conduit, si sa tendance à tourner reste constante, l’ensemble du rouage tourne uniformément. Le pendule, dans sa plus grande simplicité, consiste dans un corps pesant A (fig. 23), de petite dimension, suspendu par un fil très-délié, mobile lui-même autour d’un point S, et tel qu’on peut écarter le corps A de sa position verticale pour l’amener à droite ou à gauche en B ou en C et l’abandonner ensuite à lui-même. On ne sait pas par quels procédés Métius obtint le rapport qui porte son nom. Dans les calculs destinés à déterminer plus exactement le rapport de la circonférence au diamètre, on s’est servi d’un principe qui peut être énoncé ainsi : la circonférence d’un cercle est plus grande que le contour de tout polygone inscrit, et plus petite que le contour du polygone circonscrit. Les contours de ces deux genres de polygones ADCDEF et PQRSTV (fig. 2) peuvent être calculés en parties du rayon OC du cercle circonscrit au polygone intérieur, et en parties de ce même rayon, qui est, pour l’autre polygone, celui du cercle inscrit GHKLMN. Lorsque dans le calcul des développements rectilignes de deux polygones d’un même nombre de côtés en parties du rayon du même cercle, on trouve les mêmes résultats jusqu’à la dixième décimale, par exemple, on peut être assuré d’avoir exactement, jusqu’à cette même décimale, le rapport de la circonférence au diamètre du cercle, puisque ce rapport, répétons-le, doit être intermédiaire entre le rapport que fournit le développement du polygone circonscrit et celui du polygone inscrit, ou en prenant les lettres de la figure, le rapport de la circonférence GHKLMN au rayon OC est plus petit que le rapport du polygone PQRST à ce rayon OC, et plus grand que le rapport du polygone ABCDEF, toujours au même rayon OC. C’est en partant de ce principe que Viete, qui vivait vers la fin du XVIe siècle, exprima le rapport du diamètre à la circonférence avec la précision de onze décimales. Cette exactitude fut bientôt dépassée par le résultat des recherches d’Adrianus Romanus. Ce calculateur belge eut la patience de déterminer les contours de deux polygones, l’un inscrit et l’autre circonscrit à un cercle, et composés chacun de 1 073 741 824 côtés. Les longueurs de ces deux polygones, évaluées en parties du rayon du cercle, avaient seize décimales communes ; dès lors le rapport du diamètre à la circonférence pouvait être donné jusqu’à la précision d’une unité sur la seizième décimale. Ludolph Van Ceulen, de Cologne, étendit la précision en suivant la même méthode jusqu’à la trente-sixième décimale. Par des moyens de calcul plus abrégés, plus simples, mais reposant aussi implicitement sur la proposition que la longueur de la circonférence du cercle est toujours intermédiaire entre les longueurs des contours des polygones inscrits et circonscrits, on est arrivé à des degrés d’approximation surpassant beaucoup tout ce qu’on avait obtenu antérieurement. Lagny, par exemple, prenant le diamètre du cercle comme unité, détermina la longueur de la circonférence jusqu’à la cent vingt-huitième décimale. Véga poussa l’approximation jusqu’à cent quarante et un chiffres. Dans un manuscrit conservé à la bibliothèque Ratcliffe, d’Oxford, on trouve, dit-on, le rapport exprimé jusqu’à cent cinquante-cinq décimales. Ces approximations n’ont aucune utilité pratique. Il n’est pas de cas dans les applications les plus abstruses de la science, où l’on soit obligé, à beaucoup près, d’aller aussi loin que les nombres de Lagny, de Véga et de la bibliothèque Ratcliffe permettraient de le faire. C’est ce que je vais démontrer, après avoir consigné ici le rapport en question, jusqu’à la cinquantième décimale. Le diamètre étant 1, la circonférence sera : Il faut bien comprendre qu’en se contentant pour le rapport d’un certain nombre de décimales, celle à laquelle on s’arrête est trop faible et qu’en l’augmentant d’une unité, elle serait trop forte. En sorte que dans tous les cas, on obtiendra deux limites de longueur entre lesquelles la véritable circonférence sera toujours contenue. Ainsi le diamètre, étant 1, le nombre 3.1 donnera une circonférence trop petite ; 3.2 donnerait une circonférence trop grande ; 3.14 donnerait un résultat trop faible, et 3.15 serait trop grand ; 3.141 donnerait une longueur de circonférence trop faible, mais 3.142 serait un résultat trop grand, et ainsi de suite. Cela posé, voyons avec quel degré d’approximation il serait possible de calculer, en s’aidant de tous ces chiffres, la circonférence d’un cercle ayant pour rayon la distance moyenne de la terre au soleil. Cette distance est de 38 millions de lieues, ou 152 billions de mètres ; le diamètre du cercle est donc de 304 billions de mètres. Quelle est l’étoile qui passe maintenant ? Les pléiades se montrent à l’Orient. L’aigle plane au sommet du ciel. Euripide vécut de 480 à 407 avant J.-C. Euclide dit, dans son livre des Phénomènes, que les parties visibles des parallèles parcourus par les étoiles boréales, sont d’autant plus grandes que les distances de ces étoiles au cercle arctique sont plus petites. « On en juge, ajoute-t-il, sur ce que le temps que ces astres passent sous l’horizon est plus ou moins différent de celui qu’ils passent au-dessus » (Delambre, Hist. anc., t. i, p. 52). Ce passage prouve que du temps d’Euclide, 300 ans avant notre ère, on avait des moyens de subdiviser le temps. Les clepsydres, suivant toute apparence, sont d’une date encore plus ancienne que les cadrans solaires. Les clepsydres sont des horloges à l’aide desquelles le temps se mesurait par des effets dépendants de l’écoulement de l’eau. Désirait-on régler la durée des discours que des orateurs, des avocats, devaient prononcer devant une assemblée du peuple, devant un tribunal, etc. ; on se servait de vases ayant des volumes déterminés et qui étaient remplis d’eau : le temps que le liquide mettait à s’écouler entièrement fixait la durée voulue. Plusieurs orateurs devaient-ils parler successivement, les autorité assignaient d’avance une clepsydre à chacun d’eux. De là les expressions : on en est encore à la première, à la seconde, à la troisième eau ; vous empiétez sur mon eau, etc. Il y a dans les discours de Démosthène, de Cicéron, des allusions à cette manière de fixer la durée des discours. Les préposés à l’observation des clepsydres favorisaient leurs amis et nuisaient à leurs adversaires, soit en altérant le diamètre de la petite ouverture par laquelle l’écoulement s’opérait, soit en changeant la capacité du vase renfermant le liquide à l’aide de masses de cire qu’ils fixaient subrepticement aux parois intérieures de ce vase, ou qu’ils enlevaient sans qu’on s’en aperçût. Dans certaines clepsydres, le temps était mesuré, non par l’écoulement total de l’eau, mais par le changement de son niveau. Dans d’autres, dans celles de Ctésibius, l’eau écoulée devenait une force motrice qui, par exemple,allant remplir successivement les divers augets d’une roue, produisait dans cette roue un mouvement de rotation, lequel se communiquait ensuite à un système de roues dentées (fig. 16 et 17). La force motrice résultait, dans d’autres horloges, du mouvement ascensionnel du liquide qui se déversait dans un verre fixe fermé. Un flotteur placé dans ce vase soulevait une crémaillère ; celle-ci, engrenant avec un pignon, faisait tourner un ensemble de roues dentées qui donnaient naissance à des effets très-variés.Ctésibius vivait vers le milieu du second siècle avant l’ère chrétienne.La machine que Scipion Nasica fit ériger, pendant qu’il était censeur, pour subdiviser la durée du jour, fonctionnait, d’après Pline et Censinorus, par l’intermédiaire d’un courant d’eau (Pline, liv. vii, chap. ix).C’était donc une clepsydre, et non un cadran solaire, comme on le suppose ordinairement.La clepsydre de Scipion Nasica était dans un lieu couvert. Pline en fixe l’exécution à l’an 595 de Rome (172 avant J.-C.). Aristote, 350 ans avant notre ère, parlait déjà de roues qui évidemment devaient être dentées ; en effet, dans ses Questions de mécanique (introduction, page 848, colonne A, ligne 18, édition de l’Académie de Berlin), on lit, d’après la traduction qu’a bien voulu me donner notre savant confrère de l’Institut, M. Barthélemy Saint-Hilaire : « D’après cette propriété qu’a le cercle de se mouvoir dans des sens contraires simultanément, c’est-à-dire que l’une des extrémités du diamètre représentée par A (fig. 18), par exemple, se meut en avant, tandis que l’autre représentée par B se meut en arrière, on a pu construire des appareils où par un mouvement unique se meuvent à la fois en sens contraire plusieurs cercles accouplés, comme ces petites roues en airain ou en fer que l’on consacre dans les temples. Soit, en effet, un cercle AB que touche un autre cercle CD. Si le diamètre du cercle AB se meut en avant, celui du cercle CD prendra son mouvement en arrière, le diamètre du cercle AB étant mû autour d’un même point. Le cercle CD marchera donc dans un sens contraire à celui du cercle AB.Tout le monde
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